【高斯消元】UVA1564 Widget Factory

观察题目，发现只知道开始和结束是星期几，但是不知道过了几个星期，其实这就是在模意义下的线性方程组。设处理第 $i$ 条记录时，工人工作了 $b_i$ 天，第 $j$ 种零件做了 $a_j$ 个，第 $i$ 种零件的制作时间是 $x_i$ 天，将其表示一下：

$$\begin{cases} a_{1, 1} x_1 + a_{1, 2} x_2 + \cdots + a_{1, n} x_n \equiv b_1 \pmod 7\\ a_{2, 1} x_1 + a_{2, 2} x_2 + \cdots + a_{2, n} x_n \equiv b_2 \pmod 7\\ \cdots \\ a_{m,1} x_1 + a_{m, 2} x_2 + \cdots + a_{m, n} x_n \equiv b_m\pmod 7 \end{cases}$$

使用高斯消元的板子求解，把除以一个数变成乘其逆元。但我们发现，解出来可能导致 $x=0,x=1,x=2$，这不符合题意。根据同余的性质，变成 $x=7,x=8,x=9$ 即可。

同时，题目还要求我们输出无数解，无解的情况。

• 对于无数解：当 $x_i$ 没有约束，即 $a_{i,i} = 0$，且 $a_{i,n+1}=0$ 时方程组有无数解。

• 对于无解：当 $i \in [1,n]$ 且 $a_{i,i} = 0$（此处 $x_i$ 没有约束，但是取任何值都不满足方程条件）， 且 $a_{i,n+1} > 0$ 或当 $i \in [n+1,m]$ 且 $a_{i,n+1} > 0$ 时方程组无解。

因为不同人的高斯消元写法不同，上文讨论的情况建议结合代码阅读，实现起来细节比较多。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e2+10, mod = 7;
int mi(int x,int k) {int p; return k?p=mi(x,k>>1),p*p%mod*(k&1?x:1)%mod:1;}
int inv(int x) {return mi(x,mod-2);}
int n,m; int a[N][N];
map<string,int>rq;
string s1,s2;
int main() {
	rq["SUN"]=1,rq["MON"]=2,rq["TUE"]=3,rq["WED"]=4, rq["THU"]=5, rq["FRI"]=6,rq["SAT"]=7;
	while(cin>>n>>m,n||m) {
		memset(a,0,sizeof a);
		for(int i=1,K;i<=m;i++) {
			cin>>K>>s1>>s2; a[i][n+1] = (rq[s2]-rq[s1]+mod+1)%mod;
			for(int j=1,x;j<=K;j++) {
				cin>>x;
				a[i][x] = (a[i][x] + 1) % mod;
			}
		}
		/*
			关于高斯消元，我的写法是如果第 i 个主元不存在时，就空着占位置
			这样可以达到只有 $a_{i,i}$ 与 a_{i,n+1} 有值的效果 
		*/
		for(int i=1,h;i<=n;i++) {
			h = 0;
			for(int j=1;j<=m;j++)
				if((j>=i || a[j][j] == 0) && a[j][i]) {
					h = j; break;
				}
			if(h == 0) continue;
			swap(a[i],a[h]);
			for(int j=1;j<=m;j++) {
				if(i == j || a[j][i] == 0) continue;
				int x = a[j][i] * inv(a[i][i]) % mod;
				for(int k=i;k<=n+1;k++)
					a[j][k] = (a[j][k] - x * a[i][k] % mod + mod) % mod;
			}
		}
		int wj = 0, wsj = 0;
		for(int i=1;i<=m;i++)
			if((!a[i][i] && a[i][n+1]) || (i>n && a[i][n+1])) wj = 1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(a[i][i] == 0 && a[i][n+1] == 0) wsj = 1;
		if(wj) cout<<"Inconsistent data.";
		else if(wsj) cout<<"Multiple solutions.";
		else
			for(int i=1,ans;i<=n;i++) {
				 ans = a[i][n+1]*inv(a[i][i]) % 7;
				if(ans <= 2) ans += 7;
				cout<<ans; if(i != n) cout<<' ';
			}
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}