【思维】【组合问题】AT_arc121_d [ARC121D] 1 or 2

其实题意就是：求某些数两两匹配，某些数不匹配后形成序列的最小极差。

由易到难，从最简单的方法想起，我们先考虑某些数不匹配，某些数两两配对的情况。并且假设 $a_i \ge 1$。

若只有三个数 $a\le b\le c$，如果必须要配一对，会有如下三种情况：$a+b$，$c$ 或 $a+c$，$b$ 或 $b+c,a$。显然 $a+b$，$c$ 是最优的。如果有 $n$ 个数呢？我们可以通过调整某些数的配对方法，得到最优解。

根据上文的推导可得：如果有 $k$ 个数不配对，这 $k$ 个数一定是前 $k$ 大的数。（这一部分实际上没有用，甚至在题目范围内是错的，但是能让我们不多想）

那剩下的数必须要配对。其实就是让比较小的值变大，大的值不那么大，即较大的配一个较小的。具体而言，最大的必须配对最小的，次大的必须配对次小的。

证明：现有 $a\le b\le c\le d$，求极差。$a+b$，$c+d$ 肯定劣于 $a+c$，$b+d$，还有一种情况是 $a+d,b+c$。将两者用作差法就可以得到 $a+d,b+c$ 是最优解。

但是以上结论我们只讨论了 $a_i \ge 1$ 时的情况，那岂不是完蛋啦？考虑 $a_i$ 为自然数情况如何修补。

我们可以把所有数统一加上 $x$，使其变为正数。说明结论在实数范围内生效。但是前文的结论就不对了，那不是全完了？不配对的情况就少加了 $x$。但换句话说，不配对不就是和 $x$ 配对吗？把 $x$ 也加入原始序列就好了。这样我们抛弃了第一个结论，但也做出来题了。

推出的第一个结论虽然是错的，但是一点用都没有吗？其实也帮助我们推出了正解。很多时候，结论不一定一下推出，不如把过多顾虑丢掉，把对的结论应用到所有情况。