多项式定理

多项式定理:对于正整数 $k,n$,如下成立
$$
(x_1+x_2+\cdots+x_n)^k=\sum \frac{k!}{k_1!k_2!\cdots k_n!} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n},
$$
其中 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 遍历等式 $k_1+k_2+\cdots+k_n=k$.

证明:建议从组合学的观点来证明如上式子.如下式子已经说明了一切:
$$
\frac{k!}{k_1!(k-k_1)!}\frac{(k-k_1)!}{k_2!(k-k_1-k_2)!}\cdots
\frac{(k-k_1-\cdots-k_{n-1})!}{k_n!0!}=\frac{k!}{k_1!k_2!\cdots k_n!}.
$$