偏导数存在并不一定表明函数的连续性

《数学分析,欧阳光中版》第 159页说:

 

由一元函数可导必定连续的结论可知,若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 关于 $x$(或 $y$)可导,则 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 关于 $x$(或 $y$)连续.不过要注意,此时并不能推出 $f(x,y)$ 关于两个变量是连续的.

在此,我要用一个失败的证明为此话做注解,以证明如上方框里的话很可能是对的(当然,书上的反例直接表明了方框里的话是对的,但是我愿意从“无法证明”的角度来看这个问题).我们要想证明 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 连续,就要证明

$$\lim_{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=0.$$

也就是证明

$$\lim_{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]=0.$$

然而没有证据支持这一点.因为条件里并没有说函数在除去 $(x,y)$ 之外的点是关于 $x$ 或 $y$ 连续.