秩-零化度定理

有限维线性空间之间的线性映射最重要的特点可以用如下公式来反映: \begin{equation} \label{eq:1} \operatorname{dim}(T(V))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}T)=\operatorname{dim}V. \end{equation}

这个公式叫秩-零化度定理.其中 $T$是从 $m$ 维线性空间 $V$ 到 $n$维线性空间 $T(V)$ 的线性映射.$\operatorname{Ker T}$ 表示空间 $\{x\in V:T(x)=\mathbf{0}\}$.易得 $\operatorname{Ker}T$ 是线 性空间,并且 $\operatorname{Ker}T$ 是线性空间 $V$ 的子空间, 因此也是有限维的.通俗地讲,我们可以说 $\operatorname{Ker}T$是在线性映射 $T$ 的作用下消失了 的线性空间,因为 $\operatorname{Ker}T$ 在 $T$ 的作用下最后变成了零空间 $\{\mathbf{0}\}$.

 

下面我们来证明该公式.

 

设 $\{v_1,\cdots,v_m\}$ 是线性映射$V$ 的一组基.我们知道,这组基在线 性映射 $T$ 的作用下变成了 $T(V)$ 中的向量 组$\{T(v_1),\cdots,T(v_m)\}$.向量 组 $\{T(v_1),\cdots,T(v_m)\}$ 张成(span)了线性空间 $T(V)$.但是, $\{T(v_1),\cdots,T(v_m)\}$ 中的向量不一定是线性无关的.我们可以分离 出对张成线性空间 $T(V)$“没贡献”的 $j(j\geq 0)$ 个向量,不失一般性地,不 妨设这 $j$ 个向量分别是 $T(v_1),\cdots,T(v_j)$. 这 $j$ 个向量可以被 其余的 $n-j$ 个线性无关的向量线性表示.不妨设具体的线性表示方式 为 $\forall 1\leq k\leq j$, $$ T(v_k)=\sum_{i=j+1}^n\alpha_{k,i}T(v_{i}). $$ 于是,根据线性映射的性质,可知 $\forall 1\leq k\leq j$, $$ T\left(v_{k}-\sum_{i=j+1}^{n}\alpha_{k,i}v_i\right)=0. $$ 因此, $$ \left\{v_k-\sum_{i=j+1}^n\alpha_{k,i}v_i:k\in \{1,\cdots,j\}\right\}\subset \operatorname{Ker}T. $$ 形如$v_k-\sum_{i=j+1}^n\alpha_{k,i}v_i$ 的向量有 $j$ 个,且易得这 $j$个 向量线性无关,因此 $\operatorname{Ker}T$ 至少是 $j$ 维线性空间.且易得集 合 $$ \left\{v_k-\sum_{i=j+1}^m\alpha_{k,i}v_i:k\in \{1,\cdots,m\}\right\}\bigcup \left\{v_{j+1},\cdots,v_n\right\} $$ 中的任意多个向量也线性无关,因此 $\operatorname{Ker}T$ 至多为 $j$ 维线 性空间.综上所述,$\operatorname{Ker}T$ 恰为 $j$ 维线性空间.QED.