常微分方程教程(丁同仁,李承治),习题1-1,4

 

Exercise 1 证明:设 $ y=g(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)$ 是一个充分光滑的函数 族,其中 $ x$是自变量,而 $ C_1,C_2,\cdots,C_n$ 是 $ n$ 个独立的参数(任 意常数),则存在一个形如

$ {\displaystyle F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0 }$

的 $ n$ 阶微分方程,使得它的通解恰好是上述函数族.

Proof: 可得

$ {\displaystyle \begin{cases} y=g(x,C_1,\cdots,C_n),\\ y^{(1)}=g^{(1)}(x,C_1,\cdots,C_n),\\ y^{(2)}=g^{(2)}(x,C_1,\cdots,C_n),\\ \vdots\\ y^{(n-1)}=g^{(n-1)}(x,C_1,\cdots,C_n) \end{cases}. \ \ \ \ \ (1)}$

以及

$ {\displaystyle y^{(n)}=g^{(n)}(x,C_1,\cdots,C_n). \ \ \ \ \ (2)}$

由于常数 $ C_1,\cdots,C_n$ 独立,因此我们可以反解出

$ {\displaystyle \begin{cases} C_1=p_1(x,y,y^{(1)},\cdots,y^{(n-1)}),\\ C_2=p_2(x,y,y^{(1)},\cdots,y^{(n-1)}),\\ \vdots\\ C_n=p_n(x,y,y^{(1)},\cdots,y^{(n-1)})\\ \end{cases}. \ \ \ \ \ (3)}$

其中 $ p_1,p_2,\cdots,p_n$ 都是从 $ \mathbf{R}^n$ 到 $ \mathbf{R}$ 的函数.将 式 (3) 代入 (2),得到

$ {\displaystyle y^{(n)}=g^{(n)}(x,p_1(x,y,y^{(1)},\cdots,y^{(n-1)}),\cdots,p_n(x,y,y^{(1)},\cdots,y^{(n-1)})). \ \ \ \ \ (4)}$

式 (4)即为我们所求的微分方程. $ \Box$