「陶哲軒實分析」 習題 3.4.3

设A,B是集合X的两个子集合，并设f:X → Y是函数.证明 f(A∩B) ⊆ f(A)∩f(B),f(A)\f(B) ⊆ f(A\B), f(A∪B) = f(A)∪f(B).对于前两个命题， ⊆ 关系可以加强为 = 吗？

 

证：

 

（1）设x ∈ A∩B.则f(x) ∈ f(A)且f(x) ∈ f(B).则f(x) ∈ f(A)∩f(B).即，属于A∩B的元素经过f的作用都属于f(A)∩f(B).所以f(A∩B) ⊆ f(A)∩f(B).设x ∈ f(A)\f(B).则必存在k∈ A, f(k) = x.(因为A到f(A)是满射）且k∉B.(否则k ∈ A∩B,会导致x = f(k) ∈ f(A)∩f(B).)所以f(A)\f(B) ⊆ f(A\B).设x ∈ A∪B, 易得必有f(x) ∈ f(A)∪f(B).所以f(A∪B)⊆ f(A)∪f(B).对于x ∈ f(A)∪f(B)，当x ∈ f(A)时，可知有k ∈ A, 使得f(k) = x.当x ∈ B时，可得有k ∈ B, 使得f(k) = x.所以f(A)∪f(B) ⊆ f(A∪B).故f(A∪B) = f(A)∪f(B).

 

 

（2）两个 ⊆ 都不可以加强为 = .可用如下图诠释：