一个不等式的别证

设$x,y,z$为正实数,且$x\geq y\geq z$, 求证: $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2$.

证明: 因为$x\geq y\geq z>0$,所以

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}-(\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x})=\frac{(x-y)(x-z)(y-z)(xy+yz+zx)}{xyz}\geq 0$.

即

$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq \frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x}$.

从而

$2\left(\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\right)\geq x^2\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+y^2\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+z^2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\geq 2(x^2+y^2+z^2)$.

故原不等式成立.

(注:这个证法有别于《平均值不等式与柯西不等式(第二版)》P.158的证法)