2016雅库特数学奥林匹克不等式的证明

试题:设非负实数$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2\geq 3$.证明:$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)$.

证明:设$t=ab+bc+ca>0$,则由题意

$(a+b+c)^6=(a^2+b^2+c^2+2t)^3\geq (3+2t)^3$,

而$(3+2t)^3-81t^2=(8t+3)(t-3)^2\geq 0$.

即$(3+2t)^3\geq 81t^2$.

所以 $(a+b+c)^6\geq 81(ab+bc+ca)^2$,即原不等式成立.