秒杀宋庆老师的一个不等式猜想

近期宋庆老师在【不等式证明中的智巧,中学数学研究（江西）,2014年第4期,pp.42-44】中提出如下猜想:

猜想1 已知 $a,b,c$ 是满足 $5a+12b+13c=60$ 的非负数, 求证:

$5ab+12bc+13ca\leq 180.$

证明: 由已知

$180-(5ab+12bc+13ca)=\frac{1}{20}(5a+12b+13c)^2-(5ab+12bc+13ca)$

$=\frac{1}{20}[(5a-13c)^2+144b^2+20ab+72bc]\geq 0.$

从而原不等式获证.