1.概述
图像识别的一个核心问题是图像的特征提取，简单描述即为用一组简单的数据(数据描述量)来描述整个图像，这组数据月简单越有代表性越好。良好的特征不受光线、噪点、几何形变的干扰，图像识别技术的发展中，不断有新的描述图像特征提出，而图像不变矩就是其中一个。
从图像中计算出来的矩通常描述了图像不同种类的几何特征如：大小、灰度、方向、形状等，图像矩广泛应用于模式识别、目标分类、目标识别与防伪估计、图像编码与重构等领域。
严格来讲矩是概率与统计中的一个概念，是随机变量的一种数字特征。设 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">x</script> 为随机变量，C为常数，则量E[(x−c)^k]称为X关于C点的k阶矩。比较重要的两种情况如下：
1.c=0,这时a_k=E(X^k)称为X的k阶原点矩;
2.c=E(X),这时μ_k=E[(X−EX)^k]称为X的k阶中心矩
一阶原点矩就是期望，一阶中心矩μ_1=0，二阶中心矩μ_2就是X的方差Var(X)。在统计学上，高于4阶的矩极少使用，μ_3可以去衡量分布是否有偏，μ_4可以衡量分布（密度）在均值拘谨的陡峭程度。
针对一幅图像，我们把像素的坐标看成是一个二维随机变量(X, Y)，那么一副灰度图可以用二维灰度图密度函数来表示，因此可以用矩来描述灰度图像的特征。
不变矩(Invariant Moments)是一种高度浓缩的图像特征，具有平移、灰度、尺度、旋转不变性，由M.K.Hu在1961年首先提出，1979年M.R.Teague根据正交多项式理论提出了Zernike矩
opencv中提供的API用来计算中心矩和Hu矩，下面主要介绍Hu的原理。
2.原理
一幅M×N的数字图像f(i,j)，其p+q阶几何矩m_pq和中心矩μ_pq为：
其中f(i,j)为图像在坐标点(i,j)处的灰度值。
若将m_00看做图像的灰度质量，则(i¯,j¯)为图像的质心坐标，那么难中心矩μ_pq反应的是图像灰度相对于其灰度质心的分布情况，可以用几何矩来表示中心矩0~3阶中心矩与几何矩的关系如下：
为了消除图像比例变化带来的影响，定义规格化中心矩如下：
利用二阶和三阶规格中心矩可以导出下面7个不变矩组(Φ1 Φ7),它们在图像平移、旋转和比例变化时保持不变
3.opencv API
opencv中提供了moments()来计算图像中的中心矩(最高到三阶)，HuMoments()用于由中心矩计算Hu矩.同时配合函数contourArea函数计算轮廓面积和arcLength来计算轮廓或曲线长度
moments()
1 cv::moments ( InputArray array,
2 bool binaryImage = false
3 )
array:输入数组，可以是光栅图像(单通道，8-bit或浮点型二维数组),或者是一个二维数组(1 X N或N X 1),二维数组类型为Point或Point2f
binaryImage:默认值是false，如果为true，则所有非零的像素都会按值1对待，也就是说相当于对图像进行了二值化处理，阈值为1，此参数仅对图像有效。
contourArea()
1 double cv::contourArea ( InputArray contour,
2 bool oriented = false
3 )
contour:是一个向量，二维点，可以是vector或Mat类型
oriented:有默认值false，面向区域标识符，如果为true，该函数返回一个带符号的面积，其正负取决于轮廓的方向(顺时针还是逆时针)。根据这个特性可以根据面积的符号来确定轮廓的位置。如果是默认值false，则面积以绝对值的形式返回.
该函数使用Green formula计算轮廓面积，返回面积和非零像素数量如果使用drawContours或fillPoly绘制轮廓，可能导致不同。
官方文档中给出调用contourArea()函数示例如下：
1 vector<Point> contour;
2 contour.push_back(Point2f(0, 0));
3 contour.push_back(Point2f(10, 0));
4 contour.push_back(Point2f(10, 10));
5 contour.push_back(Point2f(5, 4));
6 double area0 = contourArea(contour);
7 vector<Point> approx;
8 approxPolyDP(contour, approx, 5, true);
9 double area1 = contourArea(approx);
10 cout << "area0 =" << area0 << endl <<
11 "area1 =" << area1 << endl <<
12 "approx poly vertices" << approx.size() << endl;
arcLength()
用于计算封闭轮廓的周长或曲线的长度
1 double cv::arcLength ( InputArray curve,
2 bool closed
3 )
curve:输入二维点集，可以是vector或Mat类型
closed:曲线是否封闭的标志位，true则封闭否则不封闭
3.示例代码
1 #include <iostream>
2 #include <stdlib.h>
3 #include <stdio.h>
4 #include <opencv2\core\core.hpp>
5 #include <opencv2\highgui\highgui.hpp>
6 #include <opencv2\imgproc\imgproc.hpp>
7 #include <Windows.h>
8
9 using namespace std;
10 using namespace cv;
11
12 //定义全局变量
13 Mat srcImage, grayImage;
14 int thresh = 100;
15 const int threshMaxValue = 255;
16 RNG rng(12345);
17
18 //声明回调函数
19 void thresh_callback(int, void*);
20
21 int main()
22 {
23 srcImage = imread("image_moments_1.jpg");
24
25 //判断文件是否加载成功
26 if (!srcImage.data)
27 {
28 cout << "图像加载失败...";
29 return -1;
30 }
31 else
32 cout << "图像加载成功..." << endl << endl;
33
34 namedWindow("原图像", WINDOW_AUTOSIZE);
35 imshow("原图像", srcImage);
36
37 //图像转化为灰度图并平滑
38 cvtColor(srcImage, grayImage, COLOR_BGR2GRAY);
39 blur(grayImage, grayImage, Size(3, 3));
40
41 namedWindow("灰度图", WINDOW_AUTOSIZE);
42 imshow("灰度图", grayImage);
43
44 //创建轨迹条
45 createTrackbar("Thresh:", "灰度图", &thresh, threshMaxValue, thresh_callback);
46 thresh_callback(thresh, 0);
47 waitKey(0);
48
49 return 0;
50 }
51
52 void thresh_callback(int, void*)
53 {
54 Mat canny_output;
55 vector<vector<Point>>contours;
56 vector<Vec4i>hierarchy;
57
58 //canny边缘检测
59 Canny(grayImage, canny_output, thresh, thresh * 2, 3);
60 //轮廓提取
61 findContours(canny_output, contours, hierarchy, RETR_TREE, CHAIN_APPROX_SIMPLE, Point(0, 0));
62
63 //计算图像矩
64 vector<Moments>mu(contours.size());
65 for (int i = 0; i < contours.size(); i++)
66 {
67 mu[i] = moments(contours[i], false);
68 }
69
70 //计算图像的质心
71 vector<Point2f>mc(contours.size());
72 for (int i = 0; i < contours.size(); i++)
73 {
74 mc[i] = Point2f(mu[i].m10 / mu[i].m00, mu[i].m01 / mu[i].m00);
75 }
76
77 //绘制轮廓
78 Mat drawing = Mat::zeros(canny_output.size(), CV_8UC3);
79 for (int i = 0; i < contours.size(); i++)
80 {
81 Scalar color = Scalar(rng.uniform(0, 255), rng.uniform(0, 255), rng.uniform(0, 255));
82 drawContours(drawing, contours, i, color, 2, 8, hierarchy, 0, Point());
83 circle(drawing, mc[i], 4, color, -1, 8, 0);
84 }
85
86 namedWindow("轮廓图", WINDOW_AUTOSIZE);
87 imshow("轮廓图", drawing);
88
89 //用moments矩集计算轮廓面积并与opencv函数计算结果进行比较
90 printf("\t Info: Area and Contour Length \n");
91 for (int i = 0; i < contours.size(); i++)
92 {
93 printf("* Contour[%d] - Area(M_00)=%.2f-Area OpenCV:%.2f - Length:%.2f\n", i, mu[i].m00, contourArea(contours[i]), arcLength(contours[i], true));
94 Scalar color = Scalar(rng.uniform(0, 255), rng.uniform(0, 255), rng.uniform(0, 255));
95 drawContours(drawing, contours, i, color, 2, 8, hierarchy, 0, Point());
96 circle(drawing, mc[i], 4, color, -1, 8, 0);
97 }
98 }
4.运行结果
