浅谈三角函数系

高中最早引入"两角和与差的余弦，正弦，正切"是在上海教育出版社高中一年级第二学期教材中，我们通过单位圆中两个坐标点的旋转，构造出了一个的角。具体不再赘述。

 

我们知道

通过字母替换得到

我们使用这样一个很好的性质，计算

得到了

通过字母替换得到

 

以上四个公式是我们推导积化和差的重要基础。我们先将两角和的正弦与两角差的正弦相加

把两角和的正弦与两角差的正弦相减，你可以得到

当然，这两个公式我们只要这个就足够说明本文的第一个问题，就是一个正弦函数与一个余弦函数的乘积，是可以等效为两个正弦函数的线性组合。

基于这个观点，我们计算一个正弦函数与一个余弦函数的向量内积

正弦函数是一个奇函数，所以，因此证明出一个观点：

任意的正弦函数与任意的余弦函数正交。

 

刚才我们是把两角和的正弦与两角差的正弦相加，现在我们把两角和的余弦与两角差的余弦相加。

我们把两角和的余弦与两角差的余弦相减

类似的，我们可到一个结论：任意两个自变量不同的正（余）弦函数正交。

我们计算一下任意两个自变量不同的正弦函数内积，其中

余弦函数是偶函数，但是，所以我们证明了正交这一结论。

 

任意两个自变量不同的余弦函数内积，其中

同理。