直线求交点及判断位置关系（不使用向量分量）的向量点乘方法

1. 设两条直线的向量方程：
   • 设直线\(L_1\)过点\(A\)，位置向量为\(\vec{a}\)，方向向量为\(\vec{u}\)，则直线\(L_1\)的向量方程为\(\vec{r}_1=\vec{a}+t\vec{u}\)，\(t\in R\)。
   • 设直线\(L_2\)过点\(B\)，位置向量为\(\vec{b}\)，方向向量为\(\vec{v}\)，则直线\(L_2\)的向量方程为\(\vec{r}_2=\vec{b}+s\vec{v}\)，\(s\in R\)。
   • 若两直线相交，则在交点处\(\vec{r}_1 = \vec{r}_2\)，即\(\vec{a}+t\vec{u}=\vec{b}+s\vec{v}\)，移项可得\(\vec{a}-\vec{b}=s\vec{v}-t\vec{u}\)。
2. 构造垂直向量：
   • 设\(\vec{n}\)是与\(\vec{u}\)垂直的向量（即\(\vec{n}\cdot\vec{u} = 0\)）。对\(\vec{a}-\vec{b}=s\vec{v}-t\vec{u}\)两边同时与\(\vec{n}\)做点积，得到\(\vec{n}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=s\vec{n}\cdot\vec{v}-t\vec{n}\cdot\vec{u}\)。
   • 因为\(\vec{n}\cdot\vec{u} = 0\)，所以\(\vec{n}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=s\vec{n}\cdot\vec{v}\)，则\(s=\frac{\vec{n}\cdot(\vec{a}-\vec{b})}{\vec{n}\cdot\vec{v}}\)（前提是\(\vec{n}\cdot\vec{v}\neq0\)）。
   • 同理，设\(\vec{m}\)是与\(\vec{v}\)垂直的向量（即\(\vec{m}\cdot\vec{v}=0\)）。对\(\vec{a}-\vec{b}=s\vec{v}-t\vec{u}\)两边同时与\(\vec{m}\)做点积，得到\(\vec{m}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=s\vec{m}\cdot\vec{v}-t\vec{m}\cdot\vec{u}\)。
   • 因为\(\vec{m}\cdot\vec{v} = 0\)，所以\(\vec{m}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=-t\vec{m}\cdot\vec{u}\)，则\(t =-\frac{\vec{m}\cdot(\vec{a}-\vec{b})}{\vec{m}\cdot\vec{u}}\)（前提是\(\vec{m}\cdot\vec{u}\neq0\)）。
3. 确定交点情况：
   • 当\(\vec{n}\cdot\vec{v}\neq0\)且\(\vec{m}\cdot\vec{u}\neq0\)时：
     • 将\(t\)的值代入直线\(L_1\)的方程\(\vec{r}_1=\vec{a}+t\vec{u}\)，或把\(s\)的值代入直线\(L_2\)的方程\(\vec{r}_2=\vec{b}+s\vec{v}\)，可得到交点的位置向量\(\vec{r}\)。
   • 当\(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\)且\(\vec{m}\cdot(\vec{a}-\vec{b})\neq0\)（或\(\vec{m}\cdot\vec{u}=0\)且\(\vec{n}\cdot(\vec{a}-\vec{b})\neq0\)）时，两直线平行且不重合，没有交点。
   • 当\(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\)且\(\vec{m}\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = 0\)（同时\(\vec{m}\cdot\vec{u}=0\)且\(\vec{n}\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = 0\)）时，两直线重合，有无数个交点。

例如：

• 直线\(L_1\)过点\(A\)，\(\vec{a}=(1,2)\)（这里只是为了说明方便，本质上用向量表示点），方向向量\(\vec{u}=(2,1)\)，取与\(\vec{u}\)垂直的向量\(\vec{n}=(-1,2)\)（满足\(\vec{n}\cdot\vec{u}=-1\times2 + 2\times1=0\)）。
• 直线\(L_2\)过点\(B\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，方向向量\(\vec{v}=(1,1)\)，取与\(\vec{v}\)垂直的向量\(\vec{m}=(-1,1)\)（满足\(\vec{m}\cdot\vec{v}=-1\times1 + 1\times1 = 0\)）。
• 计算\(\vec{a}-\vec{b}=(1 - 3,2 - 4)=(-2,-2)\)。
• \(\vec{n}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=(-1)\times(-2)+2\times(-2)=2 - 4=-2\)，\(\vec{n}\cdot\vec{v}=(-1)\times1 + 2\times1=1\)，则\(s=\frac{\vec{n}\cdot(\vec{a}-\vec{b})}{\vec{n}\cdot\vec{v}}=-2\)。
• \(\vec{m}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=(-1)\times(-2)+1\times(-2)=2 - 2 = 0\)，\(\vec{m}\cdot\vec{u}=(-1)\times2+1\times1=-1\)，\(t = 0\)。
• 把\(t = 0\)代入\(\vec{r}_1=\vec{a}+t\vec{u}\)，得到交点的位置向量\(\vec{r}=\vec{a}=(1,2)\)。

所以，通过上述不使用向量分量的向量点乘方法可以求解二维直线的交点问题及判断直线的位置关系。