数据结构期中

左偏树

把原树的空儿子节点补上空的外部节点（记为黑点）

定义 s(u) 为节点 u 到其子树内黑点的最小距离

左偏树是一个二叉堆（假设是大根堆），每个节点均满足：左儿子节点的 s 值大于右儿子节点的s值

支持的操作：两棵左偏树的合并

插入、删除操作均可以规约到两棵左偏树的合并问题

两棵左偏树的合并操作

假设合并的是 $ T_{1}，T_{2} $

沿最右路径递归合并，满足：

（设当前两棵树的根节点为 $ u, v $）

若两者其一为空，则停止合并

若两者均不为空，则取权值最大值为根（满足大根堆性质），不妨设是 $ u $，然后递归合并 $ u $ 的右子树和 $ v $

回溯后，检查 $ u $ 是否满足左偏性质（左儿子节点的 s 值大于右儿子节点的s值），若不满足则 swap 左右子树；然后重新计算 $ u $ 的 s 值

整个回溯过程不断拼接合并的结果，并检查递归路径上所有节点是否满足左偏性质（左儿子节点的 s 值大于右儿子节点的s值），若不满足则 swap 左右子树，同时更新新的 s 值。可以证明这样复杂度是 $ O(\log n) $ 的。

搜索树

二叉搜索树

每个节点 $ u $ 存储原有信息 $ a_i $ 外还有一个权值 $ w_{u} $，满足：

\[w_{v \in T_{ls_u}} < w_{u} < w_{v \in T_{rs_u}} \]

* 若取等则称 可有重复值的二叉搜索树
**“权值”也叫“关键字”

注意到每个节点的左子树大小（LeftSize）即为当前节点的排名（Rank）

支持的操作：

1.find(k)：返回权值为 k 的数对
2.get(index)：返回第 index 个数对
3.insert(p)：插入权值 p 与信息 a
4.erase(k)：删除权值为 k 的数对
5.ascend(d)：按关键字升序输出所有数对

find(k)

在树上对 $ w $ 二分查找即可

get(index)

二分size：若左子树大小大于 index，则在左子树，小于 index，则在右子树

insert(p)

在树上做一次 find(p)，如果发现能找到，则用 a 更新信息，否则在断点（一定是叶子）插入 (p,a)

erase(k)

先做一次find(k)，找到位置

如果删除的是叶子节点（儿子数为0），直接删除即可
如果删除的是链节点（儿子数为1），删除后链接
如果删除的是有两个儿子的节点，用 左子树最大值 或 右子树最小值替换当前节点，然后删除即可

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在二叉搜索树中，各种操作的复杂度都是基于当前树高 h 的（事实上均是 $ O(h) $，极端情况可以退化成链表，变成 $ O(n) $。

理想情况下的树高是 log 量级的，各种操作时间是 $ O(\log n) $，由此引入了平衡树。

平衡树

关于一棵搜索树是否「平衡」，不同的平衡树中对「平衡」有着不同的定义．比如以 T 为根节点的二叉搜索树，左子树和右子树的高度相差很大，或者左子树的节点个数远大于右子树的节点个数，这棵树显然不具有平衡性．

对于二叉搜索树来说，常见的平衡性的定义是指：以 T 为根节点的树，每一个结点的左子树和右子树高度差最多为 1．

平衡树的调整过程

左旋(Left Rotate或zag)、右旋(Right Rotate或zig)

值得注意的是，这两种操作均不改变平衡树的中序遍历序列．

四种平衡性破坏的情况

LL 型：T 的左孩子的左子树过长导致平衡性破坏．

调整方式：右旋节点 T．

RR 型：与 LL 型类似，T 的右孩子的右子树过长导致平衡性破坏．

调整方式：左旋节点 T．

LR 型：T 的左孩子的右子树过长导致平衡性破坏．

调整方式：先左旋节点 L，成为 LL 型，再右旋节点 T．

RL 型：与 LR 型类似，T 的右孩子的左子树过长导致平衡性破坏．

调整方式：先右旋节点 R，成为 RR 型，再左旋节点 T．

AVL 树

要求：

对于每个节点的左右儿子 $ L,R $：

1.$ T_L,T_R $ 是 AVL 树
2.$|h_L-h_R| \le 1 $

支持操作：

由于这是一棵二叉搜索树，所以查询过程与其相同，下面介绍修改过程

1.insert(p)
2.earse(p)

下面我们记 $ bf(u) $ 为节点 $ u $ 的 左子树高度 减 右子树高度，称为平衡因子

容易发现一个AVL树所有节点的 bf 值取值只可能是 -1,0,1

insert(p)

先进行一次朴素的二叉搜索树插入，然后考虑重新调整这棵树，使其变为 AVL 树

不合法 bf 值 只可能出现在 新插入节点到根节点这条路径上

递归从下往上维护即可

earse(p)

同insert(p)