高阶微分方程

高阶微分方程

可降阶的方程

形如：

\[F(x, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0 \]

或者如果 $ y^{(n)} $ 能够被显式表示：

\[y^{(n)} = f(x, y', y'', ..., y^{(n-1)}) \]

(1)

标准形式

\[y^{(n)} = f(x) \]

直接积分即可：

\[y = \int \int ... \int f(x) \mathrm{d}x \mathrm{d}x ... \mathrm{d}x + C \]

例

$ y'' = xe^x $，求 $ y = y(x) $

答案：$ y = (x-2)e^x+C_1 x + C_2 $

(3)

标准形式

\[y'' = f(x, y') \]

令 $ z = y' $，则 $ z' = y'' = f(x, y') = f(x, z) $

若 $ z = \varphi(x, C_1) $，则：

\[y = \int \varphi(x_1, C_1) \mathrm{d}x + C_2 \]

例

\[ \begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} (1+x^2)y'' = 2xy'\\ y|_{x=0} = 1, y'|_{x=0}=3 \end{matrix}\right. \end{array} \]

例

\[y'' = 1 + (y')^2 \]

例

\[y y'' = (y')^2 \]

(4)恰当方程

标准形式

\[F(x, y, y', ..., y^{(n)}) = 0 \]

有

\[\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}x} = 0 \]

得到

\[G = C \]

例

\[y y'' +(y')^2 = 0 \]

二阶线性微分方程

标准形式

\[y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \]

若 $ f(x) \equiv 0 $，则为二阶齐次线性微分方程

若 $ f(x) \not \equiv 0 $，则为二阶非齐次线性微分方程

$ n $ 次线性微分方程：

\[y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x) = f(x) \]

若 $ f(x) \equiv 0 $，则为 \(n\) 阶齐次线性微分方程

若 $ f(x) \not \equiv 0 $，则为 \(n\) 阶非齐次线性微分方程

解的性质

齐次线性微分方程

解的线性性：

若 $ \varphi_1(x),\varphi_2(x) $ 均是齐次线性微分方程的解，则 $ C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x) $ 也是齐次线性微分方程的解

解空间的阶数：

$ S = { \varphi(x) | \varphi(x) 是 齐次线性方程组的解 } $

则 $ S $ 为 $ n $ 阶线性空间

2 阶：若 $ \varphi_1(x),\varphi_2(x) $ 是解，$ \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)} \ne C $，则通解为 $ y = C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x) $

n 阶：若 $ \varphi_1(x),\varphi_2(x),...,\varphi_n(x) $ 是线性无关的解，则通解为 $ y = C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)+C_n\varphi_n(x) $

非齐次线性微分方程的解

求出一个特解 $ y^{*} $

设其导出齐次线性微分方程的通解为 $ \bar{y} $

则通解 $ y = \bar{y} + y^{*} $

例

\[y'' + y = x^2 \]

常系数的二阶微分方程

标准形式

\[y'' + py' + qy = f(x) \]

先考虑齐次形式：

\[y'' + py' + qy = 0 \]

假设解为 $ e^{rx} $，带入得到特征方程：

\[r^2 + pr + q = 0 \]

1. 有两个不等实根 $ r_1, r_2 $：

通解为 $ y = C_1e^{r_1x} +C_2e^{r_2x} $

2. 两个相等实根 $ r $

通解为 $ y = (C_1 + C_2x)e^{rx} $

3. 一对共轭复根 $ \alpha \pm i\beta $

通解为 $ y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) $

若 $ f(x) = P_m(x)e^{\lambda x} $

猜特解 $ y^{*} = x^k Q_m(x)e $

当 $ \lambda $ 不是特征根的时候，$ k $ 取 $ 0 $

当 $ \lambda $ 是单特征根的时候，$ k $ 取 $ 1 $

当 $ \lambda $ 是二重特征根的时候，$ k $ 取 $ 2 $

例

\[2y'' + y' - y = 2e^x \]

齐次线性方程的通解：

\[y_h = C_1 e^{\frac{x}{2}} + C_2 e^{-x} \]

$ \lambda = 1 $ 不是特征根

特解可设为 $ y^{*} = Ae^x $，带入原方程：

\[2Ae^x + Ae^x - Ae^x = 2e^x \]

故 $ A = 1 $

通解为 $ y = y_h + y^{*} = C_1 e^{\frac{x}{2}} + C_2 e^{-x} + e^x $

例

\[y'' + y' -2y =xe^x \]

齐次线性方程的通解：

\[y_h = C_1e^x + C_2e^{-2x} \]

$ \lambda = 1 $ 是单特征根

特解可设为 $ y^{*} = x(Ax+B)e^x $，带入原方程：

\[e^x(6Ax + 2A + 3B) = xe^x \]

解出 $ A = \frac{1}{6}, B = -\frac{1}{9} $

通解为 $ y = y_h + y^{*} = C_1e^x + C_2e^{-2x} + (\frac{1}{6}x^2 - \frac{1}{9}x)e^x $

若 $ f(x) = e^{\alpha x}[A_m(x)\cos {\beta x} +B_l (x)\sin{\beta x}] $

猜特解 $ y^{*} = x^k [C_n(x) \cos{\beta x} + D_n(x) \sin{\beta x}]e^{\alpha x} $

其中：

$ n = \max{ m, l } $

当 $ \alpha \pm i \beta $ 不是特征根的时候，$ k $ 取 $ 0 $

当 $ \alpha \pm i \beta $ 是共轭单复根的时候，$ k $ 取 $ 1 $

例

\[y'' + 4y = x \cos x \]

混合情况

例

\[y''' + 4y = e^x + x\cos x \]

例

\[y'' + 4y = x\cos x \]

n 阶线性微分方程

n 阶常系数齐次线性微分方程

标准形式

\[y^{(n)} + a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_n = 0 \]

写出特征方程：

\[r^n + a_1r^{n-1}+...+a_{n-1}r+a_n = 0 \]

1. 对于单实根 $ r $

   通解为 $ Ce^{rx} $

2. 对于 $ k $ 重实根 $ r $

   通解为 $ (C_1 + C_2x + ... + C_kx^{k-1})e $

3. 对于共轭单复根 $ \alpha \pm i\beta $

   通解为 $ (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) e^{\alpha x} $

4. 对于 $ k $ 重共轭复根 $ \alpha \pm i\beta $

   通解为 $ [(C_1 + C_2 x + .. + C_k x^{k-1}) \cos \beta x + (D_1 + D_2x +... + D_k x^{k-1}) \sin \beta x] e^{\alpha x} $

例

\[y''' + y'' + y' + y = 0 \]

特征方程：$ r^3 + r^2 + r + 1 = 0 $

即 $ (r+1)(r^2 + 1) = 0 $

解为 $ -1, \pm i $

通解为 $ C_1e^{-x} + C_2\cos{x} + C_3 \sin{x} $

例

\[y''' - 3y'' + 3y' - y = 0 \]

特征方程：$ r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0 $

即 $ (r-1)^3 = 0 $

解为 $ r = 1 $

通解为 $ (C_1 + C_2 x + C_3 x^2)ex $

例

\[y'''' - 2y''' + 5y'' = 0 \]

特征方程：$ r^4 - 2r^3 +5r^2 = 0 $

即 $ r^2(r2-2r+5) = 0 $

解为 $ r = 0, r = 1 \pm 2i $

通解为 $ C_1 + C_2x + (C_3 \cos{2x} + C_4 \sin{2x})e^x $

例

\[y^{(4)} + a^4y = 0 (a > 0) \]

特征方程：$ r^4 + a^4 = 0 $

即 $ r = \frac{\sqrt{2}}{2}a \pm \frac{\sqrt{2}}{2} a, -\frac{\sqrt{2}}{2}a \pm \frac{\sqrt{2}}{2} a $

通解为 $ (C_1 \cos{\lambda x} + C_2 \sin {\lambda x})e^{\lambda x} + (C_3 \cos{\lambda x} + C_4 \sin {\lambda x})e^{-\lambda x} $