一阶微分方程
1. 可分离变量方程
标准形式
\[\frac{ \mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x) g(y)
\]
2. 齐次方程
标准形式
\[\frac{ \mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \varphi(\frac{y}{x})
\]
变式
\[\frac{ \mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(\frac{ax + by + c}{mx + ny + l})， a,b,c,m,n,l \in \mathbb{R}
\]
3. 一阶线性 ODE
标准形式
\[\frac{ \mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + p(x) y = q(x) ,(x \in (a,b))
\]
齐次线性微分方程
$ q(x) \equiv 0 $:
非齐次线性微分方程
$ q(x) \not\equiv 0 $:
4. 伯努利(Bernoulli)微分方程
标准形式
\[\frac{ \mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + p(x) y = q(x)y^{\alpha} ,(x \in (a,b))
\]
- $ \alpha = 0,1 $
变成齐次线性微分方程了
- $ \alpha \ne 0,1 $
两端除以 $ y^{\alpha} $：
\[\frac{ \mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}y^{-\alpha} + p(x) y^{1-\alpha} = q(x) ,(x \in (a,b))
\]
令 $ t = y^{1-\alpha} $，则 $ \mathrm{d}t = (1-\alpha)y^{-\alpha}\mathrm{d}y $，带入得到：
\[\frac{ \mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} + (1-\alpha)p(x) t = (1-\alpha)q(x) ,(x \in (a,b))
\]
这是一个以 $ t $ 为位置函数的一个一元线性 ODE
5. 恰当方程
标准形式
存在一个二元函数 $ \Phi(x, y) $，使得 $ \mathrm{d}\Phi = P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y $，则
\[P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0
\]
称为恰当方程（全微分方程）.
一些性质
$ \Phi $ 的求法：
$ \frac{\partial \Phi}{\partial x} = P(x, y) $
$ \frac{\partial \Phi}{\partial y} = Q(x, y) $
$ \Phi(x, y) = \int P(x, y) \mathrm{d}x + \psi (y) $
$ \Phi(x, y) = \int Q(x, y) \mathrm{d}y + \varphi (y) $
定理：
设 $ P(x,y), Q(x,y) $ 在 $ \mathbb{R} $ 内连续且有一阶连续偏导 $ \frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x} $ 则：
\[P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0
\]
是恰当方程，当且仅当：
\[\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
\]
例题
求解：
\[(2x\sin y + 3x^2 y)\mathrm{d}x + (x^3 + x^3\cos y + y^2)\mathrm{d}y = 0
\]
答案：
积分因子法
用积分因子法求一阶线性微分方程通解
引入积分因子 $ \mu(x, y) $：
\[\mu(x) \frac{ \mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + \mu(x)P(x)y = \mu(x) Q(x)
\]
要使左端变成某个函数的微分，即：
\[\mu'(x) = \mu(x)P(x)
\]
故取 $ \mu(x) = e^{\int P(x) \mathrm{d}x} $
此时有
\[\mathrm{d} (\mu(x)y) = \mu(x) Q(x)
\]
两端积分：
\[\mu(x)y = \int \mu(x) Q(x) \mathrm{d}x + C
\]
解出 $ y $：
\[y = \frac{1}{\mu(x)}(\int \mu(x) Q(x) \mathrm{d}x +C)
\]
用积分因子法化为恰当方程
如果不是恰当方程，如何变成恰当方程？
我们期望在乘上一个积分因子 $ \mu $ 后就可以化作恰当方程了：
\[\mu(x, y) P(x, y) \mathrm{d}x + \mu(x, y) Q(x, y)\mathrm{d}y = 0
\]
也就是满足以下偏微分方程：
\[\frac{\partial \mu P}{\partial y} = \frac{\partial \mu Q}{\partial x}
\]
也就是：
\[P \frac{\partial \mu }{\partial y} + \mu \frac{\partial P }{\partial y} = Q \frac{\partial \mu }{\partial x} + \mu \frac{\partial Q }{\partial x}
\]
移项得到：
\[P \frac{\partial \mu }{\partial y} - Q \frac{\partial \mu }{\partial x} = \mu (\frac{\partial Q }{\partial x} - \frac{\partial P }{\partial y})
\]
直接求解这个方程是困难的，不妨假设 $ \mu $ 只含一个变量
- $ \mu = \mu(x) $
有
\[- Q \frac{\partial \mu }{\partial x} = \mu (\frac{\partial Q }{\partial x} - \frac{\partial P }{\partial y})
\]
也就是
\[\frac{\partial \mu }{\partial x} = \mu \cdot \frac{1}{Q} (\frac{\partial P }{\partial y} - \frac{\partial Q }{\partial x})
\]
等式右边一定只与 $ x $ 有关，记 $ G(x) = \frac{1}{Q} (\frac{\partial P }{\partial y} - \frac{\partial Q }{\partial x}) $，随即得到：
\[\mu(x) = e^{\int G(x) \mathrm{d}x}
\]
- $ \mu = \mu(y) $
有
\[P \frac{\partial \mu }{\partial y} = \mu (\frac{\partial Q }{\partial x} - \frac{\partial P }{\partial y})
\]
也就是
\[\frac{\partial \mu }{\partial y} = \mu \cdot \frac{1}{P} (\frac{\partial Q }{\partial x} - \frac{\partial P }{\partial y})
\]
等式右边一定只与 $ y $ 有关，记 $ H(y) = \frac{1}{P} (\frac{\partial Q }{\partial x} - \frac{\partial P }{\partial y}) $，随即得到：
\[\mu(y) = e^{\int H(y) \mathrm{d}y}
\]
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