曲线积分与曲面积分

前置知识

面积微分

\[\mathrm{d}S = (y_1(x) - y_2(x))\mathrm{d}x \]

极坐标形式：

对 $ \stackrel\frown{AB} : r = r(\theta)，(\alpha \le \theta \le \beta) $，

\[\mathrm{d}S = \frac{1}{2}[r(\theta)]^2 \mathrm{d}\theta \]

弧长微分

对 $ \stackrel\frown{AB} ：y = f(x)，(a \le x \le b) $，

\[\mathrm{d}s = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2} \]

极坐标形式：

对 $ \stackrel\frown{AB} : r = r(\theta)，(\alpha \le \theta \le \beta) $，

\[\mathrm{d}s = \sqrt{{{r}'_{\theta}} ^2 + r^2} \]

空间曲线与空间曲面

曲线 $ \Gamma:x = x(t),y=y(t),z=z(t) $ 在某点处的切向量 $ \vec{\mathbf{n} } = (x'(t), y'(t), z'(t)) $

曲面 $ \Sigma: F(x,y,z) = 0 $ 在某点处的法向量 $ \nabla F = (F'_x, F'_y, F'_z) $

曲面 $ z = f(x,y) $ 在某点处的法向量 $ \nabla F = (-z'_x, -z'_y, 1) $

曲面在某点处的单位法向量可写成 $ (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) $ 的形式

$ \frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\mathrm{d}S} = \cos \gamma = \cos (\widehat{\vec{\mathbf{n}}, \vec{\mathbf{z}}} ) = \frac{\vec{\mathbf{n}} \cdot \vec{\mathbf{z}}}{|\vec{\mathbf{n}}||\vec{\mathbf{z}}|} = \frac{1}{\sqrt{{z'_x}^2+{z'_y}2+1}} $

得到：

\[\mathrm{d}S = \sqrt{{z'_x}^2+{z'_y}^2+1} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

第一类曲线积分与第一类曲面积分

第一类曲线积分（对弧长的线积分）

定义

朴素的积分沿着 x 轴，曲线积分就是，沿着曲线的积分.

\[\int_{L} f(x,y,z) \mathrm{d}s \]

$ L $ 称为积分路径.

\[\mathrm{d}s = \sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)+{z'}^2(t)} \mathrm{d}t \]

计算

如果平面光滑曲线 $ L $ 的方程为 $ y = y(x), a \le x \le b $，则：

\[\mathrm{d}s = \sqrt{1+{y'}^2(x)}\mathrm{d}t \]

第一类曲面积分（对面积的面积分）

定义

对于光滑曲面 $ \Sigma $：

\[x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) , (u, v) \in D \]

即

\[\mathbf{r} (u, v) = x(u, v) \mathbf{i} + y(u, v) \mathbf{j} + z(u, v) \mathbf{k}, (u, v) \in D \]

沿 $ S $ 对面积的面积分：

\[\iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S \]

计算

微面积表达式：

\[\mathrm{d}S = \sqrt{EG-F^2} \mathrm{d}u \mathrm{d}v \]

其中 $ Gauss $ 系数 $ E,G,F $ 分别为：

\[E = x_u^2 + y_u^2 + z_u^2 \]

\[G = x_v^2 + y_v^2 + z_v^2 \]

\[F = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v \]

如果曲面方程为 $ z = f(x, y), (x, y) \in D $，则：

\[\mathrm{d}S = \sqrt{1 + f_x^2(x, y) +f_y^2(x, y)} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

如果曲面方程为 $ H(x, y, z) = 0 $，且 $ H(x, y, z) $ 具有连续偏导数，且在 $ \Sigma $ 上 $ H'_z(x, y, z) \ne 0 $...（隐函数存在），则：

\[\mathrm{d}S = \sqrt{1 + (-\frac{H'_x}{H'_z})^2 +(-\frac{H'_y}{H'_z})^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{|| \mathbf{grad} H ||}{H'_z} \]

如果曲面方程为球坐标 $ (r, \theta, \varphi) $：

与直角坐标系的关系：

\[x = r \sin \theta \cos \varphi，y = r \sin \theta \sin \varphi, z = r \cos \theta \]

\[\mathrm{d}S = R^2 \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi \]

第二类曲线积分与第二类曲面积分

第二类曲线积分（对坐标的线积分）

定义

具有方向

函数 $ X(x, y) $ 沿曲线 $ L $ 从 $ A $ 到 $ B $ 对坐标 $ x $ 的线积分：

\[\int_L X(x, y) \mathrm{d} x \]

函数 $ Y(x, y) $ 沿曲线 $ L $ 从 $ A $ 到 $ B $ 对坐标 $ y $ 的线积分：

\[\int_L Y(x, y) \mathrm{d} y \]

一般形状的对坐标的线积分：

\[\int_L X(x, y) \mathrm{d} x + Y(x, y) \mathrm{d} y \]

\[\int_L \mathbf{f} \cdot \mathbf{\tau} \mathrm{d} s \]

$ \mathbf{\tau} $ 为单位切向量 $ (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) $

向量场：

$ \vec{F}(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) = P(x,y)\vec{i} + Q(x,y)\vec{j} $

\[\mathrm{d}W = \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = (P, Q) \cdot (\mathrm{d} x, \mathrm{d} y) = P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y \]

计算

若 $ L $ 由方程 $ y = \varphi(x), (a \le x \le b) $ 给出，则：

\[\int_L X(x, y) \mathrm{d} x = \int_a^b X[x, \varphi(x)] \mathrm{d}x \]

\[\int_L P(x, y, z)\mathrm{d}x + Q(x, y, z)\mathrm{d}y + R(x, y, z)\mathrm{d}z = \int_a^b[P(x(t), y(t), z(t))x'(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y'(t) + R(x(t), y(t), z(t))z'(t)]\mathrm{d}t \]

如果 $ L $ 的方程是 $ y = y(x), z = z(x), x: a \to b $，则：

\[\int_L P(x, y, z)\mathrm{d}x + Q(x, y, z)\mathrm{d}y + R(x, y, z)\mathrm{d}z = \int_a^b[P(x, y(x), z(x)) + Q(x, y(x), z(x))y'(x) + R(x, y(x), z(x))z'(x)]\mathrm{d}x \]

$ L $ 是$ xy $ 平面的光滑曲线同理

如果是闭合曲线，可以用格林公式计算

两种线积分的关系：

由 $ \mathrm{d}s = \sqrt{(\mathrm{d}x)^{2+(\mathrm{d}y)}2} $，得到：

\[\mathrm{d}x = \cos \alpha \mathrm{d}s \]

\[\mathrm{d}y = \sin \alpha \mathrm{d}s \]

其中 $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \tan \alpha $，

故

\[\int_{\stackrel\frown{AB}} X(x, y) \mathrm{d} x + Y(x, y) \mathrm{d} y = \int_{\stackrel\frown{AB}}[X(x, y)\cos \alpha + Y(x, y)\sin x]\mathrm{d} s \]

第二类曲面积分（对坐标的面积分）

定义

需要规定平面的方向

曲面上某点处的单位法向量及方向余弦为：

\[\mathbf{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) = \frac{1}{\pm \sqrt{EG-F^2}}(\frac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)}, \frac{\partial (z, x)}{\partial (u, v)}, \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}) \]

对 $ \Sigma：z = z(x, y), (x, y) \in D $：

$ \mathbf{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) = \frac{1}{\pm \sqrt{1+{z'_x}^2+{z'_y}2}}(-z'_x, -z'_y, 1) $

$ \mathbf{f} $ 在 $ \Sigma $ 上的第二类曲面积分：

\[\iint_{\Sigma} \mathbf{f} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d}S = \iint_{\Sigma} X \mathrm{d}y\mathrm{d}z + Y \mathrm{d}z \mathrm{d}x + Z \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

通量 $ \Phi $：

$ \mathrm{d}\Phi = \vec{v} \cdot \vec{n} \mathrm{d}S $

流速 $ \vec{v} = \vec{F}(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) $

$ \vec{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) $

$ \cos \alpha \mathrm{d}S = \mathrm{d}y\mathrm{d}z $

...

\[\iint_{\Sigma}\vec{F} \cdot \vec{n} \mathrm{d}S = \iint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y \]

计算：

曲线某点处单位法向量：$ \vec{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) = \frac{1}{\pm \sqrt{1+{z'_x}^2+{z'_y}2}}(-z'_x, -z'_y, 1) $

$ \iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot \vec{n}\mathrm{d}S= \iint_D(-Pz'_x-Qz'_y+R)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式

Green 公式

\[\iint_D(\frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \oint_{L} X \mathrm{d}x + Y \mathrm{d}y \]

其中 $ L $ 为 $ D $ 的边界曲线，沿 $ L $ 的正向进行（区域 $ D $ 始终在 $ L $ 的左边）.

Gauss 公式

散度：

对 $ \vec{F} = (P, Q, R) $

\[\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \]

\[\oiint_{S} P \mathrm{d}y \mathrm{d}z + Q \mathrm{d}z \mathrm{d}x + R \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \iiint_V (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V \]

Stokes 公式

\[\oint_L X \mathrm{d}x + Y \mathrm{d}y + Z \mathrm{d}z = \iint (\frac{\partial Z}{\partial y}- \frac{\partial Y}{\partial z})\mathrm{d}y \mathrm{d}z + (\frac{\partial X}{\partial z}- \frac{\partial Z}{\partial x})\mathrm{d}z \mathrm{d}x + (\frac{\partial Y}{\partial x}- \frac{\partial X}{\partial y})\mathrm{d}x \mathrm{d}y \]