傅里叶级数学习笔记

傅里叶级数

傅里叶级数

三角级数

\[ \begin{equation} \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos {\frac{n\pi x}{l}} + b_n \sin {\frac{n \pi x}{l}}) \end{equation} \]

傅里叶系数与傅里叶级数

以 $ 2l $ 为周期的傅里叶系数：

\[\begin{equation} \left\{\begin{matrix} a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos {\frac{n\pi x}{l}} \mathrm{d}x & (n = 0,1,2,...).\\ b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin {\frac{n\pi x}{l}} \mathrm{d}x & (n = 1,2,...).\\ \end{matrix}\right. \end{equation} \]

以 $ 2 \pi $ 为周期的傅里叶系数：

\[\begin{equation} \left\{\begin{matrix} a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos {nx} \mathrm{d}x & (n = 0,1,2,...).\\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin {nx} \mathrm{d}x & (n = 1,2,...).\\ \end{matrix}\right. \end{equation} \]

由傅里叶系数确定的三角级数叫做 $ f(x) $ 的傅里叶级数.