反常积分学习笔记

反常积分

无穷积分

无穷积分的概念

定义

设 $ f(x) $ 在 $ [a, +\infty] $ 上连续，则

\[ \begin{equation} \int_{a}^{\infty } f(x) \mathrm{d}x = \lim_{A \to \infty} \int_{a}^{A} f(x) \mathrm{d}x \end{equation} \]

p-积分

\[\begin{equation} \int_{a}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^{p}} (a>0)= \left\{\begin{matrix} \frac{a^{1-p}}{p-1},当p>1时\\ +\infty ，当p\le 1时 \end{matrix}\right. \end{equation} \]

无穷积分的收敛判别法

Cauchy 收敛准则

\(\int_{a}^{\infty } f(x) \mathrm{d}x\) 收敛的充要条件是：对于任意的 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ A_0 > a $，使当 $ A >A_0，A' > A_0 $ 时，恒有 $ | \int_{A}^{A' } f(x) \mathrm{d}x < \varepsilon | $.

绝对收敛定理

比较判别法

积分判别法（无穷级数）

若 $ f(x) $ 单调减少，则反常积分 $ \int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x $ 与正向级数 $ \sum_{n=N}^{\infty}f(x) (N=[a]+1) $ 同敛散.

A-D 判别法

考虑形如

\[\begin{equation} \int_{a}^{+\infty } f(x)g(x) \mathrm{d}x \end{equation} \]

的无穷积分.

Abel 判别法

设 $ \int_{a}^{+\infty } g(x)\mathrm{d}x $ 收敛，而 $ a(x) $ 在 $ a \le x < +\infty $ 上是单调的有界的（$ | a(x) | \le K $），则无穷积分 $ (3) $ 收敛.

Dirichlet 判别法

设 $ | \int_{a}^{A} g(x)\mathrm{d}x | \le L = \mathrm{const} $（对任何 $ A > a $ ），而 $ a(x) $ 在 $ a \le x < +\infty $ 上是单调的，且 $\lim_{x \to +\infty}a(x) = 0 $，则无穷积分 $ (3) $ 收敛.

瑕积分

瑕积分的概念

定义

设 $ f(x) $ 在 $ (a, b] $ 上连续，且 $ \lim_{x \to a^+} = \infty $，则

\[ \begin{equation} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{\eta \to 0^+} \int_{a+\eta}^{b} f(x) \mathrm{d}x \end{equation} \]

p-积分

\[\begin{equation} \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}x}{(x-a)^{p}} (a>0)= \left\{\begin{matrix} \frac{(b-a)^{1-p}}{1-p},当p<1时\\ +\infty ，当p \ge 1时 \end{matrix}\right. \end{equation} \]

瑕积分的收敛判别法

绝对收敛定理

比较判别法

A-D 判别法

一些例题

例 1

求

\[\int_{0}^{1} x^{a-1} (1-x)^{b-1} \mathrm{d}x \]

的收敛范围.

例 2

求

\[\int_{0}^{+\infty} x^{a-1}e^{-x} \mathrm{d}x \]

的收敛范围.

参考文章

[1] 数学分析. 下册 / 郭大钧，陈玉妹，裘卓明编著.

[2] 数学分析. 下册 / 陈纪修，於崇华，金路编.

[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/312986436