基于 Marshwon 不等式的极值点偏移解题策略

一、前置知识

1. 对数均值不等式：

\[\forall x,y > 0, \sqrt{xy} < \frac{x - y}{\ln x - \ln y} < \frac{x + y}{2} \]

用 $ e^x, e^y $ 分别代换 $ x,y $，得到其指数形式：

\[ \forall x, y \in \mathbb{R}, e^{\frac{x+y}{2}} < \frac{e^x - e^y}{x - y} < \frac{e^x + e^y}{2} \]

2. Marshwon 不等式：

若

\[\frac{\ln x_1}{x_1} = \frac{\ln x_2}{x_2} \]

则

\[x_1 x_2 < e^2 \]

证明：

根据合比性质：

\[\frac{\ln x_1}{x_1} = \frac{\ln x_2}{x_2} = \frac{\ln x_1 - \ln x_2}{x_1 - x_2} = \frac{\ln x_1 + \ln x_2}{x_1 + x_2} \]

由 对数均值不等式：

\[\frac{\ln x - \ln y}{x - y} < \frac{2}{x + y} \]

故

\[\frac{\ln x_1 + \ln x_2}{x_1 + x_2} = \frac{\ln x_1 - \ln x_2}{x_1 - x_2} < \frac{2}{x + y} \]

故

\[\ln x_1 + \ln x_2 < 2 \]

即

\[x_1 x_2 < e^2 \]

---

二、基于 Marshwon 不等式的极值点偏移解题策略

例 1：

$ e^x = ax^2 $ 有 $ 2 $ 个不同的正实数根 $ x_1,x_2 \(，求证：\) x_1 + x_2 > 4 $.

证明：

由题意：

\[\frac{e^{x_1}}{{x_1}^2} = \frac{e^{x_2}}{{x_2}^2} \]

例 2：

$ \ln x = ax + x^2 $ 有两个相异实根 $ x_1,x_2 $，求证 $ x_1 x_2 > 1 $.

例 3：

已知 $ f(x) = 2e^x + ax $，若 $ f(x) = m $ 有两个不相等的根 $ x_1,x_2 $，且 $ 0 < x_1 < x_2 \(，求证：\) f'(\sqrt{x_1 x_2}) < 0 $.

例 4：

已知 $ f(x) = \frac{1}{2} x^2 - ax - 2a^2 \ln x $ 有两个相异零点 $ x_1, x_2 \(，求证：\) x_1 + x_2 > 4a $.

三、后记

上述方法可应对大部分极值点偏移问题（以对数均值不等式的平凡运用为背景），但面对更强的放缩需求时就失效了，具有局限性（把对数均值不等式改成更强的不等式理论上可以但会非常难看），比如以下例题：

设方程 $ x - \ln x = a $ 的两个实数根是 $ x_1, x_2(x_1 < x_2) $，求证： $ x_1 + x_2 > 1 + a $.

读者可自行尝试（

这方法还挺牛牛的，虽然本质上和比值代换差不多，但看起来很优雅。

关于 "Marshwon" 不等式：同位外号的英文谐音，这个典典方法是他发现的，但后来发现好多答案上面都有这种方法（伤心.jpg）。

四、参考文献

[1] xzyg 浅谈 Marshwon 不等式

[2] 曲一线 五年高考三年模拟 2025 高考 B 版

[3] 王朝银 步步高 大二轮专题复习 数学