Kruskal算法生成最小生成树
1. 问题
最小生成树：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边
2. 解析
在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。
Kruskal算法:假设现在要求无向连通图G=(V, E)的最小生成树T，Kruskal算法的思想是令T的初始状态为|V|个结点而无边的非连通图，T中的每个顶点自成一个连通分量。接着，每次从图G中所有两个端点落在不同连通分量的边中，选取权重最小的那条，将该边加入T中，如此往复，直至T中所有顶点都在同一个连通分量上。
注意此处的关键点有两个：
（1）在生成最小生成树前，要对图中的所有边进行排序；
（2）如何判断一条边的两个端点是否落在不同的连通分量上
3. 设计
[核心伪代码]
4. 分析
由于各个子块不是嵌套而是顺序的，所以时间复杂度为O（ElogE）
5. 源码
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAXN 11 //顶点个数的最大值
#define MAXM 20 //边的个数的最大值
struct edge //边
{
int u, v, w;
}edges[MAXM]; //边的数组
int parent[MAXN]; //parent[i]为顶点i所在集合对应的树中的根结点
int n, m; //顶点个数、边的个数
int i, j; //循环变量
void UFset() //初始化
{
for (i = 1; i <= n; i++) parent[i] = -1;
}
int Find(int x) //查找并返回结点x所属集合的根结点
{
int s; //查找位置
for (s = x; parent[s] >= 0; s = parent[s]);
while (s != x) //优化方案——压缩路径，使后续的查找操作加速
{
int tmp = parent[x];
parent[x] = s;
x = tmp;
}
return s;
}
//运用并查集，将两个不同集合的元素进行合并，使两个集合中任意两个元素都连通
void Union(int R1, int R2)
{
int r1 = Find(R1), r2 = Find(R2); //r1和r2分别为R1和R2的根结点
int tmp = parent[r1] + parent[r2]; //两个集合结点数之和（负数）
//如果R2所在树结点个数 > R1所在树结点个数（注意parent[r1]是负数）
if (parent[r1] > parent[r2])
{
parent[r1] = r2;
parent[r2] = tmp;
}
else
{
parent[r2] = r1;
parent[r1] = tmp;
}
}
int cmp(const void* a, const void* b) //实现从小到大的比较函数
{
edge aa = *(const edge*)a, bb = *(const edge*)b;
return aa.w - bb.w;
}
void Kruskal()
{
int sumweight = 0; //生成树的权值
int num = 0; //已选用的边的数目
UFset(); //初始化parent数组
for (i = 0; i < m; i++)
{
if (Find(edges[i].u) != Find(edges[i].v))
{
printf("%d %d %d\n", edges[i].u, edges[i].v, edges[i].w);
sumweight += edges[i].w; num++;
Union(edges[i].u, edges[i].v);
}
if (num >= n - 1) break;
}
printf("The weight of MST is : %d\n", sumweight);
}
void main()
{
scanf("%d%d", &n, &m); //读入顶点个数和边数
for (int i = 0; i < m; i++)
scanf("%d%d%d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].w); //读入边的起点和终点
printf("The edges chosen are :\n");
qsort(edges, m, sizeof(edges[0]), cmp); //对边按权值从小到大排序
Kruskal();
}
