NOIP涉及的数论

扩展欧几里得

求二元一次不定式方程 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组解。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 
{
    int t;
    if(!b) {x=1;y=0;return a;}
    t=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return t;
}

线性筛质数

维护一个质数表。对于每个数 $a$ ，从小到大枚举所有质数 $b$ ，将 $a$\times$b$ 打上标记。如果 $b|a$ ，停止枚举。

void getprime()
{       
    int i,j;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {              
        if(!b[i]) prime[++tot]=i;  
        for(j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            b[i*prime[j]]=true;  
            if(!i%prime[j]) break;
        }
    }
}

线性求逆元

逆元的定义： $ax$\equiv$1(mod$\quad$b)$ 称x是a在模b意义下的逆元，可理解为 $a*a^{-1}$\equiv$1(mod$\quad$b)$ 。

给定一个质数 $p$ ，求出 $1$ 至 $p-1$ 的逆元。

$a[i]=-[p/i]*a[p\,mod$\,$$\,$i]$

证明：

$-i*$\lfloor$\cfrac{p}{i}$\rfloor$+(p\,mod$\,$$\,$i) $\equiv$ 0(mod$\quad$p)$

$-i*$\lfloor$\cfrac{p}{i}$\rfloor$ $\equiv$ (p\,mod$\,$$\,$i)(mod$\quad$p)$

$i*(-$\lfloor$\cfrac{p}{i}$\rfloor$*a[p\,mod$\,$$\,$i]) $\equiv$ 1(mod$\quad$p)$

费马小定理

若 $p$ 是质数，则 $a^{p-1}$\equiv$1(mod$\quad$p)$

证明：

因为 $gcd(a,p)=1$ ，所以 $\{a,2a,$\cdots$,(p-1)a\}=\{1,2,$\cdots$,p-1\}$ .

$a*2a*$\cdots$*(p-1)a$\equiv$1*2*$\cdots$*(p-1)$

$a^{p-1}*(p-1)!$\equiv$(p-1)!$

$a^{p-1}$\equiv$1$

线性求欧拉函数

欧拉函数 $$\phi$(x)$ 的定义：小于等于 $x$ 的正整数中与 $x$ 互质的数的个数。

$\phi(x)=\begin{cases}1&x=1\\x-1&x\;is\;prime\\ x\prod_{i=1}^{x}$\frac{p_{i}-1}{p_{i}}$&x=p_1^{a_1}$\times$p_2^{a_2}$\times\dots\times$p_k^{a_k}\\\end{cases}$

设 $p$ 为 $x$ 最小的质数， $x'=x/p$ 。在线性筛中， $x$ 被筛 $p$\times$x'$ 掉。

当 $x'\;mod\;p\not=0$ 时， $\phi(x)=p$\times$x'\times$\frac{p-1}{p}$\prod_{i=1}^{k'}$\frac{p_{i}-1}{p_{i}}$=(p-1)\times\phi(x')$ 。

当 $x'\;mod\;p=0$ 时， $\phi(x)=p$\times$x'\times\prod_{i=1}^{k'}$\frac{p_{i}-1}{p_{i}}$=p\times\phi(x')$ 。

void getphi()  
{  
    int i,j;  
    phi[1]=1;  
    for(i=2;i<=n;i++)
    {  
       if(!b[i])  
       {  
           prime[++tot]=i; 
           phi[i]=i-1;
       }  
       for(j=1;j<=tot;j++)  
       {  
           if(i*prime[j]>n)  break;  
           b[i*prime[j]]=true; 
           if(i%prime[j]==0)
           {  
               phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
               break;  
            }  
            else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
       }  
     }  
}

欧拉定理

若 $gcd(a,p)=1$ ，则 $a^{\phi(p)}$\equiv$1(mod$\quad$p)$ 。

证明：

记 $\phi(p)=n$ , 记 $x_1,x_2,$\dots$,x_{\phi（p）}$ 为 $1$ 到 $p-1$ 中与 $p$ 互质的数。

$\{x_1,x_2,$\dots$,x_{\phi(p)}\}=\{a*x_1\,mod\,p,a*x_2\,mod\,p,$\dots$,a*x_{\phi(p)}\,mod\,p\}$

$x_1*x_2*$\dots$*x_{\phi(p)}$\equiv$ a^{\phi(p)}*x_1*x_2*$\dots$x_{\phi(p)}(mod$\quad$p)$

由消去律得 $a^{\phi(p)}$\equiv$1(mod$\quad$p)$

Miller-Rabin算法素数测试

记 $n=a*2^b$

在 $\[1,n\)$ 中随机选取一个整数 $x$ ，如果 $x^a$\equiv$1(mod$\quad$n)$ 或 $x^{a*2^i}$\equiv$-1(mod$\quad$n)$\quad$(0$\leq$i<b)$ , 那么我们认为n是质数。

错误率不超过1/4，重复若干次即可。

long long mod_mul(long long,long long,long long);
long long mod_exp(long long,long long,long long); 
bool miller_rabbin(long long n)  
{  
    int i,j,t;
    long long a,x,y,u;
    if(n==2)return true;  
    if(n<2||!(n&1)) return false;  
    t=0;u=n-1;  
    while((u&1)==0) t++,u>>=1;  
    for(i=1;i<=tim;i++)  
    {  
        a=rand()%(n-1)+1;  
        x=mod_exp(a,u,n);  
        for(j=0;j<t;j++)  
        {  
            y=mod_mul(x,x,n);  
            if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false;  
             x=y;  
        }  
        if(x!=1) return false;  
    }  
    return true;  
} 
long long mod_mul(long long a,long long b,long long mod) 
{
    long long res=0;
    while(b) 
    {
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
long long mod_exp(long long a,long long b,long long mod) 
{
    long long res=1;
    while(b) 
    {
        if(b&1) res=mod_mul(res,a,mod);
        a=mod_mul(a,a,mod);
        b>>=1;
    }
    return res;
}

Pollard-rho算法分解合数

中国剩余定理

解方程组 $x$\equiv$a_i(mod$\quad$p_i)$ 其中 $p_i$ 两两互质。