从0-1背包 到完全背包

完全背包问题 ：从01背包说起。

01背包：N件物品，容量为V；第i件物品费用（体积）W[i],价值c[i]。求最大价值。

      分析： 第i件物品装1/不装0，故为01背包。

状态方程：f[i][v]=max( f[i-1][v]，f[i-1][v-w[i]]+c[i]);

核心代码：

         for(i=1;i<=n;i++)

          for(v=m;v>0;v--)   //m=10初值

           if(w[i]<=v)  f[i][v]=max(f[i-1][v]，f[i-1][v-w[i]]+c[i]);   //有空间：比较选择

           else  f[i][v]=f[i-1][v];   //当前i没选，返回之前最大价值

cout<<f[n][m] 就是最优解！

白书351页，9.12   0-1背包问题

 

【输入】背包容量M=10,物品 n=4                    【输出】12

分析i=4, v=10 的情况。

if(w[i]<=v)  f[i][v]=max(f[i-1][v]，f[i-1][v-w[i]]+c[i]);   //有空间：比较选择

           else  f[i][v]=f[i-1][v];   //当前i没选，返回之前最大价值

上述代码为： w4<=10 :7<10 成立。

f(4,10)=max{ f(3,10), f(3,10-w4)+c4 ) }      //10-w4=3

 

     =max{ 9 ,  f(3,3)+9  }  =max { 9,  3+9} = max{9 , 12} = 12                       //请大家自行完成后面的填空

 

 

 

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完全背包：N件物品，容量为m；第i件物品费用（体积）W[i],价值c[i]。求最大价值。

          并且没有物品无限可用——其实就是有无限多的i种类物品。

       分析： 第i种物品 有多个,每件物品空间v

状态方程：f[i][v]=max( f[i-1][v]，f[i-1][v-w[i]]+c[i]);  //同01背包相同

核心代码：for(i=1;i<=n;i++)

          for(v=1;v<=m;v++)

           if(v< w[i])  f[i][v]= f[i-1][v];   //当前容积不如，返回上一步

            else

                if( f[i-1][v]>f[i][v-w[i]]+c[i] )  f[i][v]= f[i-1][v]; //上一步大于当前，用上一步

                else  f[i][v]= f[i][v-w[i]]+c[i];   //放入当前(累加放入) ,解决i种多个。

                           //f[i]表示本种物品取多个

白书353页，9.12 完全背包问题

 

【输入】背包容量M=10,物品 n=4                    【输出】12

 

 

请同学们，结合代码 补全后面的表格。

 

 

 

 

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                       信息学奥赛    
完全背包问题 ：从01背包说起。

01背包：N件物品，容量为V；第i件物品费用（体积）W[i],价值c[i]。求最大价值。

      分析： 第i件物品装1/不装0，故为01背包。

状态方程：f[i][v]=max( f[i-1][v]，f[i-1][v-w[i]]+c[i]);

核心代码：

         for(i=1;i<=n;i++)

          for(v=m;v>0;v--)   //m=10初值

           if(w[i]<=v)  f[i][v]=max(f[i-1][v]，f[i-1][v-w[i]]+c[i]);   //有空间：比较选择

           else  f[i][v]=f[i-1][v];   //当前i没选，返回之前最大价值

cout<<f[n][m] 就是最优解！

白书351页，9.12   0-1背包问题

【输入】背包容量M=10,物品 n=4                    【输出】12

(V)每个物品重量Wi		每个物品价值Ci
物品1	W1=2	C1=1
物品2	W2=3	C2=3
物品3	W3=4	C3=5
物品4	W4=7	C4=9

 

 

F[i][v]最大价值	V=10	V=9	V=8	V=7	V=6	V=5	V=4	V=3	V=2	V=1
物品i=1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0
物品i=2 (第2次内循环)	f(1,7)+3 4	f(1,6)+3 4	f(1,5)+3 4	f(1,4)+3 4	f(1,3)+3 4	f(1,2)+3 4	f(1,1)+3 4	3	1	0
物品i=3 (第3次内循环)	f(2,10-4)+5 f(2,6)+5 4+5=9	f(2,9-4)+5 f(2,5)+5 4+5=9	f(2,8-4)+5 f(2,4)+5 4+5=9	f(2,7-4)+5 f(2,3)+5 3+5=8	f(2,6-4)+5 f(2,2)+5 1+5=6	f(2,5-4)+5 f(2,1)+5 0+5=5	else =f(i-1,v) f(2,4)=4	else =f(i-1,v) f(2,3)=3	同左 f(2,1) =1	0
物品i=4 (第4次内循环)	12

分析i=4, v=10 的情况。

if(w[i]<=v)  f[i][v]=max(f[i-1][v]，f[i-1][v-w[i]]+c[i]);   //有空间：比较选择

           else  f[i][v]=f[i-1][v];   //当前i没选，返回之前最大价值

上述代码为： w4<=10 :7<10 成立。

f(4,10)=max{ f(3,10), f(3,10-w4)+c4 ) }      //10-w4=3

     =max{ 9 ,  f(3,3)+9  }  =max { 9,  3+9} = max{9 , 12} = 12

 

完全背包：N件物品，容量为m；第i件物品费用（体积）W[i],价值c[i]。求最大价值。

          并且没有物品无限可用——其实就是有无限多的i种类物品。

       分析： 第i种物品 有多个,每件物品空间v

状态方程：f[i][v]=max( f[i-1][v]，f[i-1][v-w[i]]+c[i]);  //同01背包相同

核心代码：for(i=1;i<=n;i++)

          for(v=1;v<=m;v++)

           if(v< w[i])  f[i][v]= f[i-1][v];   //当前容积不如，返回上一步

            else

                if( f[i-1][v]>f[i][v-w[i]]+c[i] )  f[i][v]= f[i-1][v]; //上一步大于当前，用上一步

                else  f[i][v]= f[i][v-w[i]]+c[i];   //放入当前(累加放入) ,解决i种多个。

                           //f[i]表示本种物品取多个

白书353页，9.12 完全背包问题

【输入】背包容量M=10,物品 n=4                    【输出】12

(V)每个物品重量Wi		每个物品价值Ci
物品1	W1=2	C1=1
物品2	W2=3	C2=3
物品3	W3=4	C3=5
物品4	W4=7	C4=9

 

 

F[i][v]最大价值	V=1	V=2	V=3	V=4	V=5	V=6	V=7	V=8	V=9	V=10
物品i=1	0	1	1	f(1,2)+c1 1+1=2	f(1,3)+c1 1+1=2	f(1,4)+c1 2+1=3	f(1,5)+c1 2+1=3	f(1,6)+c1 3+1=4	f(1,7)+c1 3+1=4	f(1,8)+c1 4+1=5
物品i=2 (第2次内循环)	f(i-1,v) f(1,1)0	↓1	3	f(2,1)+c2 0+3=3	f(2,2)+c2 1+3=4	f(2,3)+c2 3+3=6	f(2,4)+c2 3+3=6	f(2,5)+c2 4+3=7	f(2,6)+c2 6+3=9	f(2,7)+c2 6+3=9
物品i=3 (第3次内循环)
物品i=4 (第4次内循环)

 

 

请同学们，结合代码 补全后面的表格。