CRC的错检率
CRC校验很常见，我们也经常用，比如以太网MAC帧的结尾4个字节的FCS就是CRC32的校验结果，以前我以为加个CRC，或者有校验，就能保证这个数据有错误接收方一定能判断出来，后面自己写这些校验代码时候，就发现原来不是这么回事，就是说两个不同的数据，CRC对其校验，结果可能是一致的，也就是说可能数据在传输的过程中发生了bit翻转，但是接收方校验计算出的结果还和发送方发过来的一样，就是校验通过了，这个情况有个专业术语叫CRC碰撞，算法上有点类似生日悖论，它的叙述是：“需要多少人聚在一起，才能让其中至少有两人同一天生日的概率超过一半？”
答案是只需要23人。这个问题有时被称为“生日悖论”，不过这其实并不是真正的悖论，只是因为结果违反了一般人的直觉。大多数人会认为23人中两人同生日的概率应该远小于50%。它派生出的数学理论被用于设计一种名为“生日攻击”的密码破解方法。具体是这样算的：
1 - 1*(364/365)*(363/365)*(362/365)....
就是1减去生日各不相同的概率，第一个人生日概率不相同概率为1，第二个人和第一个不同一天出生，概率就是364／365，第三个和前两个不同一天的概率为363/365,一直下去...
这个结果表如下：
所以只需要有23个人同时在场，有两人同一天生日的概率就会超过50%。
CRC碰撞同理，以CRC32为例，理论上来说它有2的32次方的数据可能，也就说对应2的32次方的数据样本，可以对应这2的32次方的CRC32值，很多人就认为它的重复率，也就是碰撞率是1/2^32，其实是不对的，这个是单对消息的重复概率，换句话说，是任意两条数据它们的CRC32一致的概率是这么多，你可以理解为已经有一个数据的CRC32的值了（独立事件，可以理解为有放回），然后再挑一个数据，使得和上一个数据的CRC32值一样，这个的概率是1/2^32。但是CRC碰撞的概率不是指定这一对，而是很多对，A和B相同的概率是一个，C和D概率相同的又是一个，就是说在指定样本中，有多少种两两组合的方式，然后乘以单对的概率，就是总体的碰撞概率。举个例子，有2的32次方的不同颜色小球，指定两次都是黄色的概率是1/2^32，但是还有两次都是其他颜色的情况，这种也算碰撞，不是非要黄色才是，用公式表达：
- 两两组合种类：
- N(N−1)/2，其实就是概率论里的C几几的那个公式，
- 单对重复概率：
- 1/2^32
现在我们可以计算下，网上有个CRC碰撞的实验测试数据，我们先来看下：
图里CRC32在1820w条样本数据情况下，出现了38638个重复值，用公式验证下：
- 18200000*18199998/2*1/2^32 = 38561.406964436
可以看到在样本数最够大并且是随机情况下，实际值和理论值是非常接近的，如果进一步扩大样本量，就会更靠近理论值。
参：
浙公网安备 33010602011771号