斯特林数

由于不会 GF 和多项式，求值部分先咕一咕。

第一类斯特林数

定义：

用 \(\left[\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right]\) 表示把 \(n\) 个数分到 \(m\) 个环里的方案数。

\(n^2\) 递推：\(\left[\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}n-1\\m-1\end{matrix}\right]+(n-1)\times\left[\begin{matrix}n-1\\m\end{matrix}\right]\)。

表示加入一个元素后，这个元素要么独立成环，要么插入前 \(n-1\) 个元素组成的 \(n-1\) 个空中。

一些性质：

\(n!=\sum\limits_{i=0}^n\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]\)

这本质上就是置换，我们可以把一个环里的元素视为一个轮换。

\(x^{\underline n}=\sum\limits_{i=0}^{n}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right](-1)^{n-i}x^i\)，考虑归纳：\(n=1\) 时显然成立。

\(x^{\underline{n+1}}=(x-n)x^{\underline n}=(x-n)\sum\limits_{i=0}^{n}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right](-1)^{n-i}x^i\)

\(=x\sum\limits_{i=0}^{n}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right](-1)^{n-i}x^i-n\sum\limits_{i=0}^{n}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right](-1)^{n-i}x^i\)

\(=\sum\limits_{i=0}^{n}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right](-1)^{n-i}x^{i+1}-n\sum\limits_{i=0}^{n+1}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right](-1)^{n-i}x^i\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{n+1}\left[\begin{matrix}n\\i-1\end{matrix}\right](-1)^{n-i+1}x^i+n\sum\limits_{i=0}^{n+1}(-1)^{n-i+1}x^i\)

\(=\sum\limits_{i=1}^{n+1}(\left[\begin{matrix}n\\i-1\end{matrix}\right]+n\times\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right])(-1)^{n-i+1}x^i\)

\(=\sum\limits_{i=0}^{n+1}\left[\begin{matrix}n+1\\i\end{matrix}\right](-1)^{n-i+1}x^i\)，故得证。

同理可证 \(x^{\overline n}=\sum\limits_{i=0}^n\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]x^i\)。

第二类斯特林数

定义

\(\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}\) 表示 \(n\) 个元素放到 \(m\) 个集合中且无空集的方案数。

\(n^2\) 递推：\(\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}n-1\\m-1\end{matrix}\right\}+m\times\left\{\begin{matrix}n-1\\m\end{matrix}\right\}\) 表示要么独占一个集合，要么放到其他任意一个集合中。

性质

\(m^n=\sum\limits_{i=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}\times i!\times\left(\begin{matrix}m\\i\end{matrix}\right)\)

显然等于 \(\sum\limits_{i=0}^m\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}\times m^{\underline i}\)，同时也易于发现它等于 \(\sum\limits_{i=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}\times m^{\underline i}\)。

理解：\(m^n\) 表示 \(n\) 个元素塞到 \(m\) 个集合中且允许空集的方案数，于是枚举填了几个集合，乘上组合数即可。

用组合数表示第二类斯特林数，我们考虑容斥：

\(\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\frac{1}{m!}\sum\limits_{k=0}^m(-1)^k\left(\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right)(m-k)^n\)。

理解了上面的式子这个容斥容易理解的。

另一条性质：定义 \(s_k(n)=\sum\limits_{i=0}^ni^k\)，那么：

\(s_k(n)=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^k\left\{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}\right\}i^{\underline j}=\sum\limits_{j=0}^k\left\{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}\right\}\sum\limits_{i=0}^ni^{\underline j}\)

\(=\sum\limits_{j=0}^k\left\{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}\right\}j!\sum\limits_{i=0}^n\left(\begin{matrix}i\\j\end{matrix}\right)=\sum\limits_{j=0}^k\left\{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}\right\}j!\left(\begin{matrix}n+1\\j+1\end{matrix}\right)\)

\(=\sum\limits_{j=0}^k\left\{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}\right\}\frac{(n+1)^{\underline{j+1}}}{j+1}\)。

斯特林反演

\(f_n=\sum\limits_{k=0}^{n}\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}g_k\iff g_n=\sum \limits_{k=0}^n(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]f_k\)

证明这个，需要知道：

\(x^{\underline n}=\sum\limits_{i=0}^{n}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right](-1)^{n-i}x^i\)

\(x^{\overline n}=\sum\limits_{i=0}^n\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]x^i,\sum\limits_{i=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}\times m^{\underline i}\)

\(x^{\underline n}=(-1)^n(-x)^{\overline n},x^{\overline n}=(-1)^n(-x)^{\underline n}\)

同时需要证明两个反转公式：

1.\(\sum\limits_{k=m}^n(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix}k\\m\end{matrix}\right\}=[m=n]\)

证明：

\(m^{\underline n}=\sum\limits_{i=0}^n\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right](-1)^{n-i}m^i\)

\(=\sum\limits_{i=0}^n\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right](-1)^{n-i}\sum\limits_{j=0}^i\left\{\begin{matrix}i\\j\end{matrix}\right\}m^{\underline j}\)

\(=\sum\limits_{i=0}^nm^{\underline i}\sum\limits_{j=i}^n(-1)^{n-j}\left[\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix}j\\i\end{matrix}\right\}\)，得证。

2.\(\sum\limits_{k=m}^n(-1)^{n-k}\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}\left[\begin{matrix}k\\m\end{matrix}\right]=[m=n]\)

考虑 \(m^n=\sum\limits_{i=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}m^{\underline i}=\sum\limits_{i=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}(-1)^i(-m)^{\overline i}\)

\(=\sum\limits_{i=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}(-1)^i\sum\limits_{j=0}^i\left[\begin{matrix}i\\j\end{matrix}\right](-m)^j\)

\(=\sum\limits_{i=0}^nm^i\sum\limits_{j=i}^n(-1)^{i-j}\left\{\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\}\left[\begin{matrix}j\\i\end{matrix}\right]\)，得证。

最后来推式子：

已知 \(g_n=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]f_k\)

\(f_n=\sum\limits_{k=0}^n[k=n]f_k\)

\(=\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{j=k}^n\left\{\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\}\left[\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right](-1)^{j-k}f_k\)

\(=\sum\limits_{k=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}\sum\limits_{j=0}^k(-1)^{k-j}\left[\begin{matrix}k\\j\end{matrix}\right]f_j\)

\(=\sum\limits_{k=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}g_k\)

另一个方向的推导就不赘述了。