群论

概念较多，建议做笔记。

一、若干定义

群是由一种集合即集合上的一种二元运算组成的，符合群公理的代数结构。

例如，在集合 \(G\) 上的二元运算 \(*\)，我们称 \((G,*)\) 为一个群，当且仅当满足一下几种性质：

1.封闭性：\(\forall_{a,b\in G},a*b\in G\)。

2.结合律：\(\forall_{a,b,c\in G},(a*b)*c=a*(b*c)\)。

3.单位元：\(G\) 中存在一个元素 \(e\)，使得：\(\forall_{a\in G},a*e=e*a\)。

4.逆元：对于 \(G\) 中存在的每一个元素 \(a\)，一定存在一个元素 \(b\) 使得：\(a*b=b*a=e,b\in G\)。我们称 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)。

应当注意：在定义一个群的时候，我们并未要求二元运算 \(*\) 具有交换律。

例如：定义在整数集上的加法和整数集构成群 \((\mathtt{Z},+)\)，有：

\(\forall_{a,b\in\mathtt{G}},a+b\in\mathtt{Z}\)。

\(\forall_{a,b,c\in\mathtt{G}},(a+b)+c=a+(b+c)\)。

显然地，单位元是 \(0\)，一个数的逆元等于它的相反数。

群的一些衍生结构：

若代数结构 \((G,*)\) 只满足封闭性和结合律，称 \((G,*)\) 为一个半群。

若半群 \((G,*)\) 还满足单位元性质，那么称 \((G,*)\) 为一个幺半群。

若群 \((G,*)\) 满足交换律，即 \(\forall_{a,b\in G},a*b=b*a\)，那么称 \((G,*)\) 为一个交换群，也称阿贝尔群。

二、群的基本概念与简单的性质

1.群中单位元唯一，不妨设群中有两个单位元 \(e_1,e_2\)，那么有 \(e_1=e_1*e_2=e_2\)。

2.群中元素的逆元唯一，设 \(x\) 有两个逆元 \(a,b\)，那么 \(a=a*x*b=b\)。

3.群中存在消去律，即 \(\forall_{a,b,c\in G},a*c=b*c\)，两边同乘逆元即可。

4.群同态：对于两个群 \((G,*),(H,\times)\)，对于从 \(G\) 到 \(H\) 的函数 \(\varphi:G\Rightarrow H\)，若：

\(\varphi(a*b)=\varphi(a)\times\varphi(b)\)，则称两个群同态，称 \(\varphi\) 为两个群之间的同态函数，特殊地，若 \(\varphi\) 是双射，则两个群同构，称 \(\varphi\) 是两个群之间的同构函数。

5.子群：对于群 \((G,*)\)，若存在 \(H\subseteq G\)，且 \((H,*)\) 是一个群，称 \((H,*)\) 是 \((G,*)\) 的子群。

子群检验法：对于群 \((G,*)\) 中，\(G\) 的子集 \(H\)，\((H,*)\) 是子群的充分必要条件是：

\(\forall_{a,b\in H},a^{-1}*b\in H\) 可以尝试证明。

6.陪集：对于群 \(G\) 的一个子群 \(H\)，对于一个 \(a\in G\)：

定义 \(H\) 的一个左陪集 \(aH\) 为 \(aH=\{ah|h\in H\}\),

定义 \(H\) 的一个右陪集 \(Ha\) 为 \(Ha=\{ha|h\in H\}\)。

注意到一个陪集中可能没有单位元，所以陪集可能不是群。以下的讨论只针对右陪集，左陪集同理可得。

(1).\(\forall a\in G,|H|=|Ha|\)，群的性质可得：\(\forall h_1,h_2\in H,h_1a\ne h2_a\)，故陪集中元素互不相等，结论得证。

(2).\(\forall a\in G,a\in Ha\)。\(H\) 是一个子群，故有 \(e\in H\)。

(3).\(Ha=H\iff a\in H\)。左推右，由性质 2 易于证明。右推左，由群的封闭性可知 \(\forall x\in Ha,x\in H\)，故 \(Ha\subseteq H\)，又因为 \(|Ha|=|H|\)，所以 \(Ha=H\)。

(4).\(Ha=Hb\iff a*b^{-1}\in H\)。

首先注意到右边的条件等价于 \(a\in Hb,b\in Ha,a^{-1}b\in H\)（只是调换了符号）。

左推右：\(a\in Ha\Rightarrow a\in Hb\Rightarrow a*b^{-1}\in H\)。右推左：\(a^{-1}b\in H\Rightarrow Ha^{-1}b= H\)，故 \(a^{-1}*b=e\)，\(a=b\)。

(5).\(H\) 的任意两个陪集，要么相等，要么不交。

即 \(Ha\cap Hb\ne\varnothing\Rightarrow Ha=Hb\)。证明：

若 \(\exists c\in Ha\cap Hb\)，则 \(\exists h_1,h_2\in H,h_1*a=h_2*b=c\Rightarrow a*b^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H\Rightarrow Ha=Hb\)。

7.拉格朗日定理

用 \([G:H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 的不同陪集数，则 \(|G|=|H|\times|G:H|\)。证明：由陪集的性质：所有陪集不交或相等，陪集的大小都相等。同时易于证明所有的陪集对 \(G\) 构成一个覆盖（我可以说显然吧）。所以定理成立。

三、置换群，Burnside 引理和波利亚计数原理

1.置换群：我们称有限集合自身到自身的双射为置换。\(\{a_1,a_2\cdots a_n\}\) 上的置换可以表述为 \(\left (\begin{matrix} a_1,a_2\cdots a_n \\ a_{p_1},a_{p_2}\cdots a_{p_n}\end{matrix}\right )\)，我们不关心这些元素的内部顺序。

2.置换的乘法，对于置换 \(f=\left (\begin{matrix} a_{p_1},a_{p_2}\cdots a_{p_n} \\ a_{q_1},a_{q_2}\cdots a_{q_n}\end{matrix}\right ),g=\left (\begin{matrix} a_1,a_2\cdots a_n \\ a_{p_1},a_{p_2}\cdots a_{p_n}\end{matrix}\right )\)，记他们的乘积 \(f\circ g\) 为 \(\left (\begin{matrix} a_1,a_2\cdots a_n \\ a_{q_1},a_{q_2}\cdots a_{q_n}\end{matrix}\right )\)，即先做 \(g\) 的置换，再做 \(f\) 的置换。对于一个元素 \(x\)，以上这条可以表述为 \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)

3.置换群，集合 \(S\) 与 \(S\) 上的所有置换构成一个群：

(1).置换是集合到集合内部的映射，满足封闭性。

(2).结合律，根据乘法的定义易于证明 \(a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c\)。

(3).单位元，置换 \(\left (\begin{matrix} a_1,a_2\cdots a_n \\ a_1,a_2\cdots a_n\end{matrix}\right )\) 是这个群上的单位元，称之为恒等变换，记为 \(I\)。

(4).逆元，置换 \(\left (\begin{matrix} a_1,a_2\cdots a_n \\ a_{p_1},a_{p_2}\cdots a_{p_n}\end{matrix}\right )\) 的逆元是 \(\left (\begin{matrix} a_{p_1},a_{p_2}\cdots a_{p_n} \\ a_1,a_2\cdots a_n\end{matrix}\right )\)。

称 \(\{1,2\cdots n\}\) 与其上所有置换构成的群为 \(n\) 阶对称群，称其的一个子群为置换群。

4.循环置换（轮换）：

一个轮换可以表示为 \(\left (a_1,a_2\cdots a_{m-1},a_m \right )=\left (\begin{matrix} a_1,a_2\cdots a_{m-1},a_m \\ a_2,a_3\cdots a_m,a_1\end{matrix}\right )\)。

若两个轮换不含相同元素，称其为不相交的。

定理：任意一个置换都可以表示为若干个不相交轮换的乘积。

证明：把一个置换视为图，每个点的入度和出度都为 \(1\)，故这张图由若干个环组成，又由于一个环可以表示为一个轮换，故该定理成立。

3.稳定-轨道子定理

对于两个有限集合 \(A,B\)，定义 \(X=B^A\) 表示所有 \(A\) 到 \(B\) 的映射。（例如，在正方体染色中 \(A\) 是正方体的六个面，\(B\) 颜色集合，\(X\) 就是这个问题中，不考虑本质不同的所有方案）。

显然地，有 \(|X|=|B|^{|A|}\)。令 \(G\) 是作用在 \(A\) 上的置换群。我们定义：

\(G^x=\{g|g(x)=x\land g\in G\}\)，称之为 \(x\) 的稳定子，即作用在 \(x\) 上后不变的置换的集合。

\(G(x)=\{g(x)|g\in G\}\)，称之为 \(x\) 的轨道，即 \(x\) 在 \(G\)的变换下能到达的所有状态的集合。

稳定-轨道子定理：\(|G|=|G^x|\times|G(x)|\)

其的一些证明：

(1).\(G^x\) 是 \(G\) 的子群。

\(a.\) 封闭性，对于 \(f,g\in G^x\)，有 \((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x)=x\)，所以 \(f\circ g\in G^x\)。

\(b.\) 结合律，根据置换乘法的定义。

\(c.\) 单位元，因为 \(I(x)=x\)，所以 \(I\in G^x\)。

\(d.\) 逆元，对于 \(g\in G^x\)，有 \(g^{-1}(x)=g^{-1}(g(x))=(g\circ g^{-1})(x)=I(x)=x\)，故 \(g^{-1}\in G^x\)。

(2).由拉格朗日定理得 \(|G|=|G^x|\times|G:G^x|\)，故只需证明 \(|G:G^x|=|G(x)|\)。

用文字表述就是 \(G^x\) 的不同（右）陪集数等于 \(x\) 在 \(G\) 作用下能到达的不同状态的数量。令函数 \(\varphi(g(x))=G^xg\)。

若存在 \(f\in G\land f(x)=g(x)\)，则有 \((f^{-1}\circ g)(x)=x\iff f^{-1}\circ g\in G^x\)，故 \(G^xf=G^xg\)（根据群的性质）。即 \(f(x)=g(x)\iff G^xf=G^xg\)。

即对于一个 \(g(x)\) 和它对应的陪集只有一个。\(\varphi\) 是单射。同时易于证明 \(\varphi\) 的逆函数也是一个单射（老哥，\(\iff\) 都摆出来了）。故 \(\varphi\) 是双射，命题成立。

综 (1)，(2) 稳定-轨道子定理成立。

5.Burnside 引理

延续上面关于 \(A,B,X\) 的定义，我们令 \(X/G\) 表示 \(G\) 作用下所有等价类的集合，我们认为 \(X\) 中的两个元素等价，当且仅当能通过 \(G\) 中的变换互相到达。

根据定义，显然 \(X/G\) 等价于 \(\forall x\in X\)，\(x\) 的轨道的集合（我们把同一轨道的所有元素视为等价的）。又显然不同轨道之间不会相交（相交则一定是同一轨道）。故 \(|X/G|\) 又被称为 \(X\) 关于 \(G\) 的轨道数。

Burnside 引理：\(|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X^g|\)

其中 \(X^g=\{x|g(x)=x\land x\in X\}\)。称为 \(X\) 在置换 \(g\) 下的不动点个数。

证明：

\(|X/G|=\sum\limits_{Y\in X/G}1=\sum\limits_{Y\in X/G}\sum\limits_{x\in Y}\frac{1}{|Y|}=\sum\limits_{Y\in X/G}\sum\limits_{x\in Y}\frac{1}{|G(x)|}\)

显然最后一个式子等价于 \(\sum\limits_{x\in X}\frac{1}{|G(x)|}\)。根据稳定-轨道子定理有：

\(|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{x\in X}\frac{|G|}{|G(x)|}=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{x\in X}|G^x|\)

其中 \(\sum\limits_{x\in X}|G^x|\) 等价于 \(|\{(x,g)|g(x)=x\land x\in X\land g\in G\}|=\sum\limits_{g\in G}| X^g|\)，这里只是变换了求和的枚举量。

综上，得到 Burnside 引理：\(|X/G|=\frac{1}{| G|}\sum\limits_{g\in G}|X^g|\)。

注意只要满足 \(X\subseteq B^A\) Burnside 引理即满足，这是因为证明中并未用到这条性质。

6.Polya 计数原理

若满足 \(X=B^A\)，有一条基于 Burnside 引理的推论：

\(|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|B|^{c(g)}\)

用 \(c(g)\) 表示置换 \(g\) 能被拆成的轮换的数量。

证明：考虑 \(g(x)=x\) 的充要条件是 \(g\) 中每一个轮换都被映射到 \(B\) 上的同一元素，故 \(|X^g|=|B|^{c(g)}\)。

做题笔记：