两种方法证明 6 | n^3+5n

问题

证明

\[6 \mid n^3 + 5n (n \in \mathbb{N}) \]

直接分析法

\[n^3 + 5n = n(n^2 + 5) \]

首先证明 \(2 \mid n(n^2 + 5)\)

当 \(2 \mid n\) 时，显然成立

当 \(2 \nmid n\) 时，有 \(2 \mid n^2 + 5\)

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其次证明 \(3 \mid n(n^2 + 5)\)

设 \(k \in \mathbb{N}\)

(i) 当 \(n = 3k\) 时，显然成立

(ii) 当 \(n = 3k + 1\) 时，\(n^2 + 5 = 9k^2 + 6k + 6\) 能被 \(3\) 整除

(iii) 当 \(n = 3k + 2\) 时，\(n^2 + 5 = 9k^2 + 12k + 9\) 能被 \(3\) 整除

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综上所述，\(n^3 + 5n\) 能被 \(6\) 整除

数学归纳法

假设有

\[6 \mid n^3 + 5n (n \in \mathbb{N}) \]

成立，则

\[\begin{align*} (n + 1)^3 + 5(n + 1) &= n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 5n + 5 \\ &= 3(n^2 + n + 2) + (n^3 + 5n) \end{align*} \]

即 \(n = n + 1\) 时原式也成立

又因为 \(n = 0\) 时原式的值为 \(0\)，能被 \(6\) 整除

所以原命题成立