十进制数213转换为二进制数的完整过程，使用除2取余法（也称为“重复除法法”）

以下是将十进制数213转换为二进制数的完整过程，使用除2取余法（也称为“重复除法法”）。该方法通过反复除以2并记录余数，直到商为0，然后将余数从下到上（即最后一个余数为最高位）读取，得到二进制表示。

计算步骤：

1. 213 ÷ 2：
   • 213 ÷ 2 = 106（商），余数 = 1（因为 2 × 106 = 212，213 - 212 = 1）。
2. 106 ÷ 2：
   • 106 ÷ 2 = 53（商），余数 = 0（因为 2 × 53 = 106）。
3. 53 ÷ 2：
   • 53 ÷ 2 = 26（商），余数 = 1（因为 2 × 26 = 52，53 - 52 = 1）。
4. 26 ÷ 2：
   • 26 ÷ 2 = 13（商），余数 = 0（因为 2 × 13 = 26）。
5. 13 ÷ 2：
   • 13 ÷ 2 = 6（商），余数 = 1（因为 2 × 6 = 12，13 - 12 = 1）。
6. 6 ÷ 2：
   • 6 ÷ 2 = 3（商），余数 = 0（因为 2 × 3 = 6）。
7. 3 ÷ 2：
   • 3 ÷ 2 = 1（商），余数 = 1（因为 2 × 1 = 2，3 - 2 = 1）。
8. 1 ÷ 2：
   • 1 ÷ 2 = 0（商），余数 = 1（因为 2 × 0 = 0，1 - 0 = 1）。

整理余数：

• 余数序列（从上到下，按计算顺序）：1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1。
• 二进制表示需从下到上读取余数（即最后一个余数为最高位）：
  • 最后一个余数（步骤8）：1（最高位，MSB）
  • 步骤7：1
  • 步骤6：0
  • 步骤5：1
  • 步骤4：0
  • 步骤3：1
  • 步骤2：0
  • 第一个余数（步骤1）：1（最低位，LSB）
• 因此，二进制序列为：11010101。

验证（可选检查）：

• 二进制 (11010101_2) 转换为十进制：
  • (1 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0)
  • = (1 \times 128 + 1 \times 64 + 0 \times 32 + 1 \times 16 + 0 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1)
  • = (128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 213)，结果正确。

最终答案：

[
(213)_{10} = (11010101)_2
]

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将十进制数 (26.375_{10}) 转换为二进制数的过程需要分别处理整数部分（26）和小数部分（0.375），因为整数部分使用除2取余法，小数部分使用乘2取整法。以下是详细步骤：

步骤1: 转换整数部分（26）为二进制（使用除2取余法）

• 方法：反复将整数除以2，记录余数，直到商为0。余数从下到上（最后一个余数为最高位）读取即为二进制整数部分。
• 计算过程：

步骤	除法运算	商	余数	说明
1	(26 \div 2)	13	0	(2 \times 13 = 26)，余数 (26 - 26 = 0)
2	(13 \div 2)	6	1	(2 \times 6 = 12)，余数 (13 - 12 = 1)
3	(6 \div 2)	3	0	(2 \times 3 = 6)，余数 (6 - 6 = 0)
4	(3 \div 2)	1	1	(2 \times 1 = 2)，余数 (3 - 2 = 1)
5	(1 \div 2)	0	1	(2 \times 0 = 0)，余数 (1 - 0 = 1)

• 余数序列（从下到上读取）：1（步骤5）、1（步骤4）、0（步骤3）、1（步骤2）、0（步骤1）。
• 整数部分二进制结果：(11010_2)。
• 验证：(11010_2 = 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26)（正确）。

步骤2: 转换小数部分（0.375）为二进制（使用乘2取整法）

• 方法：反复将小数部分乘以2，记录整数部分，直到小数部分为0。整数部分从上到下（第一个整数为最高位）读取即为二进制小数部分。
• 计算过程：

步骤	乘法运算	乘积	整数部分	小数部分	说明
1	(0.375 \times 2)	0.75	0	0.75	整数部分为0，继续计算
2	(0.75 \times 2)	1.5	1	0.5	整数部分为1，继续计算
3	(0.5 \times 2)	1.0	1	0.0	整数部分为1，小数部分为0，停止

• 整数部分序列（从上到下读取）：0（步骤1）、1（步骤2）、1（步骤3）。
• 小数部分二进制结果：(.011_2)（注意：二进制小数点后部分）。
• 验证：(.011_2 = 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} = 0 \times 0.5 + 1 \times 0.25 + 1 \times 0.125 = 0.375)（正确）。

步骤3: 组合整数和小数部分

• 整数部分：(11010_2)
• 小数部分：(.011_2)
• 最终结果：(11010.011_2)

最终答案

[
(26.375)_{10} = (11010.011)_2
]