平面向量旋转

记向量\(OP\)与\(X\)轴正方向夹角为 \(\alpha\) ，长为 $ R $ ，则$x = Rcos{\alpha} ,\quad y = Rsin{\alpha} $ ，顺时针或者逆时针旋转\(\theta\)后变为$ OP' $ ，其长度不变。

一、顺时针

如果按顺时针旋转，\(OP'\)坐标为：

$x' = Rcos{(\alpha - \theta)} ,\quad y' = Rsin{(\alpha - \theta)} $，由三角和差公式可得：

\(x' = R(cos{\alpha}cos\theta + sin\alpha sin\theta) = Rcos\alpha cos\theta + Rsin\alpha sin\theta = xcos\theta + ysin\theta\)

\(y' = R(sin{\alpha}cos\theta - cos\alpha sin\theta) = Rsin\alpha cos\theta - Rcos\alpha sin\theta = - xsin\theta + ycos\theta\)

即：

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \]

所以平面向量顺时针旋转\(\theta\)后其旋转矩阵为：

\[T = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix} \]

二、逆时针

如果按照逆时针旋转，\(OP'\)坐标为：

$x' = Rcos{(\alpha + \theta)} ,\quad y' = Rsin{(\alpha + \theta)} $，由三角和差公式可得：

\(x' = R(cos{\alpha}cos\theta - sin\alpha sin\theta) = Rcos\alpha cos\theta - Rsin\alpha sin\theta = xcos\theta - ysin\theta\)

\(y' = R(sin{\alpha}cos\theta + cos\alpha sin\theta) = Rsin\alpha cos\theta + Rcos\alpha sin\theta = xsin\theta + ycos\theta\)

即：

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \]

所以平面向量逆时针旋转\(\theta\)后其旋转矩阵为：

\[T = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix} \]