速通 普通物理（上学期）

0 其他

量纲：

• 长度 \(L\) 质量 \(M\) 时间 \(T\)。

• 速度 \(v=\frac LT\) 加速度 \(a=\frac L{T^2}\) 力 \(F=\frac{ML}{T^2}\)。

• 角速度 \(\omega=\frac 1T\) 角加速度 \(\alpha=\frac 1{T^2}\) 力矩 \(L=\frac{ML^2}{T^2}\)。

三角函数：\(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2\)。

叉乘：\(A\cdot (B\times C)=B\cdot (C\times A)=C\cdot (A\times B),A\times(B\times C)=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C\)。

1 运动

瞬时速度 \(\vec v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}\hat x\)，类似定义瞬时加速度。

极坐标系下 \(\vec v=\dot r\hat r+r\dot\theta\hat \theta,\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\hat r+(2\dot r\dot \theta+r\ddot\theta)\hat\theta\)。

圆周运动径向加速度是 \(r\omega^2\)（向圆心），切向加速度是 \(r\alpha\)。

2 力学

万有引力：\(\vec F^G_{1,2}=-G\frac{m_1m_2}{r_{1,2}^3}\vec r_{1,2}\)。

库仑定律：\(\vec F^E_{1,2}=k_e\frac{q_1q_2}{r_{1,2}^3}\vec r_{1,2}\)。

接触力：\(\vec C=\vec N+\vec f\)，其中 \(f_k=\mu_kN\) 是动摩擦力，静摩擦力 \(f_s\in[0,f_k]\)。

牛顿三大定律应该都会吧。

非惯性系中，平移处理起来是平凡的，旋转时我们需要加上离心力 \(m\omega^2\vec r\)（背离旋转中心）与柯氏力 \(2m\vec v\times\vec\omega\)，其中 \(\vec \omega\) 垂直于平面使其逆时针旋转（右手螺旋）。

例：柯氏力会使北半球的水槽中的水下流时逆时针旋转，还会造成傅科摆。

3 动量

动量 \(\vec p=m\vec v\)，于是 \(\vec F=\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}\)。

冲量 \(\vec I=\Delta \vec p=\int_{t_1}^{t_2}\vec F\mathrm dt\)，于是平均力 \(\bar{\vec F}=\frac{\Delta \vec p}{\Delta t}\)。

恒力做功：\(W=Fs,W=M\theta\)，其中 \(s\) 是移动的距离，\(M\) 是力矩，\(\theta\) 是旋转的角度。

质点系：\(\frac{\mathrm d \vec p_{sys}}{\mathrm dt}=\sum_{i=1}^N\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}=\vec F^{ext}\)，直接推论是动量守恒 \(\vec F^{ext}=0\Rightarrow \vec p_{sys}=const\)。

质心系的性质：

• 动量直接为 \(0\)（实际上我们是定义了 \(\vec v_{CoM}=\frac{\sum m_i\vec v_i}M\) 来做到的，这相当于一个等效替代。）！
• \(\vec F^{ext}=m_{sys}\vec a_{CoM}\)（同理 \(\vec a_{CoM}=\frac{\sum m_i\vec a_i}M\)）。
• \(K=\frac 12\sum m_iv_i^2=\frac 12\sum m_i(v_i'^2+u^2+2\vec v_i'\cdot \vec u)=K_{CoM}+\frac 12 Mu^2+2(\sum \vec v_i)\cdot \vec u=K_{CoM}+\frac 12 Mv_{CoM}^2\)。
• \(\vec L=\sum m_i\vec r_i\times \vec v_i=\sum m_i(\vec r_i'+\vec r_{Co M})\times(\vec v_i'+\vec v_{CoM})=\vec L_{COM}+M\vec r_{CoM}\times \vec v_{CoM}\)。

4 能量

怎么算功？\(W=\int \vec F\cdot \vec{ \mathrm dr}\)。

瞬时能量 \(P(t)=\vec F(t)\cdot \vec v(t)\)，其中 \(\vec v(t)\)​ 是瞬时速度。

所有可能的能量：线速度 \(\frac12 mv^2\) 角速度 \(E=\frac12 I\omega^2\) 重力势能 \(mgh\) 弹性势能 \(\frac12 kx^2\) 引力势能 \(-G\frac{m_1m_2}{r_{1,2}}\)。

短时间内动能和做功的关系：\(\frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=\frac 12m\frac{\mathrm d(\vec v\cdot \vec v)}{\mathrm dt}=\frac 12m2\vec v\cdot \frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}=\vec v\cdot \vec F=m\vec v\cdot \vec a=\frac{\mathrm d\vec r}{\mathrm dt}\cdot \vec F\)。

保守场（这个会吧！）\(\oint_L \vec F(\vec r)\cdot\mathrm d\vec r=0\)。

伯努利方程：\(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+h=const\)，其中流速 \(v\) 不变，液体不可压缩（能量的形式：\(P+\frac\rho2V^2+\rho gh=const\)）。具体地，如果在一个管道中，取两个截面就有 \(\dot m_1=\dot m_2\) 有 \(\rho A_1V_1=\rho A_2V_2\) 其中 \(A\) 是截面面积。

5 角动量

角动量 \(\vec L=\vec r\times \vec p=mr^2\vec \omega\)。

力矩 \(\frac{\mathrm d\vec L_S}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\vec r_S\times\vec p)=(\vec v\times \vec p)+(\vec r_S\times \vec F)=\vec r_S\times \vec F=\vec M_S\)。

角冲量 \(\vec J_S=\Delta L_S=\int_{t_1}^{t_2}\vec M_S\mathrm dt\)。

质点系中 \(\frac{\mathrm d\vec L_S^{sys}}{\mathrm dt}=\sum_{j=1}^N\frac{\mathrm d\vec L_{S,j}}{\mathrm dt}=\sum_{j=1}^N(\vec v_{S,j}\times \vec p_j+\vec r_{S,j}\times \frac{\mathrm dp_j}{\mathrm dt})=\sum_{j=1}^N \vec r_{S,j}\times \vec F_{j}=\vec M^{ext}_S+\vec M^{int}_S=\vec M_S^{ext}\)，直接推论是角动量守恒 \(\vec M_S^{ext}=0\Rightarrow \vec L_S^{sys}=const\)。

更换参照点只需 \(\vec p_A=\vec p_B+m_{sys}\vec v_{A,B},\vec L_A=\vec L_B+\vec r_{A,B}\times \vec p_{sys}\)。

6 碰撞

一个简单的结论：

\[v_{1x,f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1x,i}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2x,i} \]

可以从 CoM 视角看待这样的碰撞，可以发现质心系下双方的速度都只是取反了而已，而质心系合速度不变。

一个简单的二级结论：一个球完全弹性地非对心撞另一个质量相同的球后两球速度必然垂直 \(\begin{cases}\frac 12mv^2=\frac 12mv_1^2+\frac12 mv_2^2\\mv=mv_1+mv_2\end{cases}\Rightarrow v_1^2+v_2^2=|\vec v_1+\vec v_2|^2\)。

注意有的时候非弹性碰撞不能能量守恒，例如从平地提一条链子，在与地面连接处有速度突变。

7 刚体

角速度有“传递性”，具体地，\(\vec\omega_{1,3}=\vec\omega_{1,2}+\vec \omega_{2,3}\)。

刚体的运动一定可以被分解成一个平移，与一个关于某个轴的旋转。推论：刚体关于任何点计算的角速度不变。

有三种轮子的运动：slipping（\(V_c\leqslant R\omega_C\)，转得太快），滚动，skidding（\(V_c\geqslant R\omega_C\)，转的太慢）。

转动惯量 \(I=\int r^2\mathrm dm\)，于是有 \(L=I\omega,M=I\alpha\)。

• 平行轴定理：\(I=I_{CoM}+md^2\)。

• 垂直轴定理：对于二维薄片，\(I_Z=I_X+I_Y\)。

• 常见转动惯量：棍绕端点 \(\frac 13ml^2\) 绕中心 \(\frac1{12}ml^2\)，圆盘 \(\frac 12mr^2\)，圆环 \(mr^2\)，球体 \(\frac25mr^2\)，球壳 \(\frac23mr^2\)，正方形 \(\frac16ma^2\)。

8 振荡

\(x(t)=A\cos(\omega t+\phi_0)\)，其中 \(A\) 是振幅，\(\omega\) 是角频率，\(\phi=\omega t+\phi_0\) 是振荡的相位，\(T=\frac{2\pi}\omega\) 是周期，\(f=\frac 1T\) 是频率。\(v(t)=\omega A\cos(\omega t+\phi_0+\frac \pi2)\)，其中 \(\omega A\) 是速度变化的幅度；\(\alpha(t)=-\omega^2 A\cos(\omega t+\phi_0)\)，所以就有 \(\frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm dt^2}+ux=0\Rightarrow \omega=\sqrt{ u}\)。

胡克定律：\(F=ma=-m\omega^2 x\)。

对于一根弹簧，势能 \(U(t)=\frac12kA^2\cos^2(\omega t+\phi)\)，动能 \(K(t)=\frac 12mv^2=\frac 12m\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\phi)=\frac 12kA^2\sin^2(\omega t+\phi)\)，机械能恰好就是 \(\frac 12kA^2\)。

事实上对于单一自由度 \(q\) 且机械能 \(E=\frac 12kq^2+\frac 12mq^2\) 守恒的系统，它就是一个 \(\omega=\sqrt{\frac km}\) 的简谐运动。对于满足 \(V_{eff}'(q_0)=0,V''_{eff}(q_0)>0\) 的机械能 \(E=\frac 12m\dot q^2+V_{eff}(q)\) 守恒的系统，我们在 \(q_0\) 泰勒展开 \(E\approx \frac 12m\dot q^2+\frac 12V''_{eff}(q_0)(q-q_0)^2\) 之后可以发现也是一个简谐运动。

扭转摆在扭转后会产生 \(-\kappa\theta\) 的回复力矩，其中 \(\kappa\) 是常数，周期就是 \(T=2\pi\sqrt{\frac I\kappa}\)。

简单摆 \(I\alpha=\tau=-Lmg\sin\theta\)，如果 \(\theta\) 较小可以近似 \(\sin\theta\approx\theta\)，这就是一个 \(\omega=\sqrt{\frac{Lmg}I}\) 的简谐运动，由于 \(I=mL^2\)，带进去最后 \(T=2\pi\sqrt{\frac Lg}\)。

振荡的复合 \(x_1=A_1\cos\omega t,x_2=A_2\cos(\omega t+\phi)\)，\(x=A_1\cos\omega t+A_2\cos(\omega t+\phi)=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\phi}\cos(\omega t+\arctan \frac{A_2\sin\phi}{A_1+A_2\cos\phi})\)（怎么记这个呢？代 \(A_1,A_2,\phi\) 特殊值进去插值即可！）。

李萨如图形 \(\begin{cases}x(\theta)=a\sin(p\theta)\\y(\theta)=b\sin(q\theta+\phi)\end{cases}\)，其中 \(\frac qp=n\) 若是有理数便曲线闭合。\(\frac pq\) 约掉公因数后 \(p\) 代表左边几道弯，\(q\) 表示上面几道弯，如果图像直线那么 \(\phi\approx 0\)。

阻尼振荡使其受到一个与速度正比的阻力 \(F=-bv-kx=ma\)，我们有 \(\ddot x+\frac bm\dot x+\frac kmx=0\Rightarrow \ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0\)。令 \(x=\exp(\lambda t)\)，可以解出来 \(\lambda=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\)，解就是俩解的线性组合。注意 \(\beta\geqslant \omega_0\) 的时。候是过阻尼/临界阻尼，不震动直接指数衰减。

受迫振荡：不会！

9 波

\(y(x,t)=A\cos(\omega t-kx+\phi)\)，其中 \(-kx+\phi\) 就是初态。

横波：振荡与传播方向垂直 / 纵波：振荡与传播方向相同。

波长 \(\lambda\)，角波数 \(k=\frac{2\pi}\lambda\)，周期 \(T\)，角频率 \(\omega=\frac{2\pi}T\)，频率 \(f=\frac 1T=\frac{\omega}{2\pi}\)，波速 \(v=\frac\omega k\)。

能量：不会！

波的叠加：

• 除了相位外都相同 \(A\cos(\omega t-kx)+A\cos(\omega t-kx+\phi)=2A\cos\frac\phi2\cos(\omega t-kx+\frac\phi2)\)。
• 除了方向外都相同 \(A\cos(\omega t-kx)+A\cos(\omega t+kx)=2A\cos kxcos \omega t\)。

参考资料

给 ymx 博客 和 mxf 课件磕一个。