上天入地无所不能

\[\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Km}{\operatorname{km}} \newcommand{\Cm}{\operatorname{cm}} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Gr}{\operatorname g} \newcommand{\Kg}{\operatorname{kg}} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\Wa}{\operatorname W} \newcommand{\Var}{\operatorname{var}} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\j}{\mathtt j} \newcommand{\i}{\mathtt i} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \newcommand{\t}{\text} \newcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\c}{\mathtt c} \newcommand{\h}{\hat} \newcommand{\hb}[1]{\hat{\boldsymbol{#1}}} \]

Aerospace 101

火箭速率 \(v(t)\)。喷射气体相对火箭速率常量 \(-u\)。喷射伴随的火箭质量变化 \(m(t)\)。外力 \(F\)。

\[p+\d p=(m+\d m)(v+\d v)-\d m\cdot(v-u) \\\d p=u\d m+m\d v \\\dot p=u\dot m+m\dot v=F \]

在无重力环境下，可以认为 \(F=0\)。则有

\[\dot v=-\dfrac um\dot m \]

关于时间积分得到

\[v_f-v_i=u\ln(m_i/m_f) \]

或者

\[v_f=v_i+u\ln(m_i/m_f) \]

令 \(R\) 为该比值（起始比终止），则有 \(v_f=v_i+u\ln R\)。其与飞行时间无关，只与起讫态有关。

在恒重力 \(F=-gm\) 的环境下，有

\[\dot p=u\dot m+m\dot v=-gm \\\dot v=-\dfrac um\dot m-g \\v_f=v_i+u\ln(m_i/m_f)-gt=u\ln R-gt \]

这是合理的，因为速度导数满足的微分方程与速度无关，所以重力的影响可以直接被线性叠加上去。

Center of Mass

\[\b x_c=\dfrac{\int\b x\d m}{\int\d m}=\dfrac{\int\b x\rho\d V}{\int\rho\d V}=\dfrac{\sum m\b x}{\sum m} \]

COM 具有带权线性性。这意味着，如果你有两个系统 \((\b x_1,m_1)\) 和 \((\b x_2,m_2)\)，则 \(\b x(m_1+m_2)=\b x_1m_1+\b x_2m_2\).

\[\b v_c=\dfrac{\sum m\b v}{\sum m} \\\b p_c=\sum m\b v=\sum\b p \\\b a_c=\dfrac{\sum m\b a}{\sum m} \\\b F=\dot{\b p_c}=\sum m\b a=m_c\b a_c \]

在 COMRF 中考虑某些问题可能更简单。

令 \(\b v_i\) 为惯性系速率，\(\b v_i\) 为 COMRF 速率，则 \(\b v_i=\b v_i'+\b u\)，其中 \(\b u\) 是 COM 在惯性系下的速率。

有 COMRM 下动能

\[K_\t{COM}=\dfrac12\sum_im_iv_i'^2 \\K=\dfrac12\sum m_iv_i^2=\dfrac12\sum m_i(v_i'^2+u^2+2\b v_i'\cdot\b u) \\=K_\t{COM}+\dfrac12\sum m_iu^2+\left(\sum\b v_i'\right)\cdot\b u \\=K_\t{COM}+\dfrac12Mu^2 \]

即，惯性系动能等于 COMRF 动能与 COM 看做质点的动能二者之和。与 \(\b p_\t{sys}=M\b u\) 不同：动量有线性性，而动能没有。

Two-Body Problem

两个物体 \(m_1,m_2\) 分别受力 \(\b F_1,\b F_2\)（计入相对作用力）。则

\[\b F_\t{ext}=\b F_1+\b F_2 \]

在 COMRM 中，两物体受到额外力

\[\bar{\b F}_1=-m_1\b a_c=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}(\b F_1+\b F_2) \\\bar{\b F}_2=-m_2\b a_c=-\dfrac{m_2}{m_1+m_2}(\b F_1+\b F_2) \]

于是有 COMRF 合力

\[\b F_1'=\bar{\b F}_1+\b F_1=\dfrac{m_2\b F_1-m_1\b F_2}{m_1+m_2}=m_1\b a_1' \\\b F_2'=\bar{\b F}_2+\b F_2=\dfrac{m_1\b F_2-m_2\b F_1}{m_1+m_2}=m_2\b a_2' \]

因此通过令

\[\b r'=\b r_1'-\b r_2' \\\b v'=\b v_1'-\b v_2' \\\b f=\b F_1'=-\b F_2' \\\b a'=\b a'_1-\b a'_2=(\dfrac1{m_1}+\dfrac1{m_2})\b f \]

因此，可以将双体问题转化为：

• 一个 COM 的运动。
• 一个拥有等效质量 \(\dfrac1{m'}=\dfrac1{m_1}+\dfrac1{m_2}\) 的约化质点，其受力 \(\b f=m_1\b a'_1=-m_2\b a'_2=m'\b a\)。

注意，在二体问题的场合，两个物体的真实运动轨迹是绕 COM 相向而行。因此，如果我们想分析其受力等信息时，有

\[F=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \]

但是没有 \(F=m_2\omega^2r\)：此处应该把 \(m_2\) 换成约化质量 \(m'\)。【当然，也可以不约化质量而是约化距离，但是因为二者都是一次项，所以约哪个都可以】

Bernoulli Equation

Bernoulli 方程

\[\dfrac p{\rho g}+\dfrac{v^2}{2g}+h=\text{Const} \]

其中，\(p\) 是压力、\(\rho\) 是密度、\(h\) 是管高、\(v\) 是流速。认为流速不随时间变化（匀强流速场）、液体不可压缩。

考虑 \((A_1,B_1)\) 段中心高为 \(h_1\)、\((A_2,B_2)\) 段中心高为 \(h_2\) 的两段管，其中 \(A_1,A_2\) 都是横截面积。令 \(A_1,A_2\) 间的这段液体，在 \(\Delta t\) 间移动到 \(B_1,B_2\)，且 \(B_1-A_1=s_1,B_2-A_2=s_2\)。

             /--[A_2 B_2]--
--[A_1 B_1]--
  h_1:中心高度   h_2:中心高度
--[A_1 B_1]--
             \--[A_2 B_2]--

既然液体不可压缩，则有 \(v_1A_1\Delta t=v_2A_2\Delta t\)。液体的机械能改变多少？\((B_1,A_2)\) 间的这段液体在 \(\Delta t\) 前后相等，因此直接看做是 \((A_1,B_1)\) 整体移动到 \((A_2,B_2)\)。

\[E_1=\dfrac12mv_1^2+mgh_1\quad E_2=\dfrac12 mv_2^2+mgh_2 \]

因此，这段液体的机械能增量为 \(E_2-E_1\)。

注意到，压强是可以做功的：\(A_1\) 处压强做正功、\(A_2\) 做负功。\(W_1=p_1V,W_2=-p_2V\)。

则有 \(W_1+W_2=\Delta E\)。

\[p_1V+\dfrac12mv_1^2+mgh_1=p_2V+\dfrac12mv_2^2+mgh_2 \]

既然 \(1,2\) 处处相等，因此任意位置均有

\[pV+\dfrac12mv^2+mgh=\text{Const} \]

同除以一些东西得到

\[\dfrac p{\rho g}+\dfrac{v^2}{2g}+h=\text{Const} \]

在飞机的场合，因为上下机翼的 \(h\) 相差不大，可以忽略。

Angular Momentum

\[\b L=\b r\times\b p \\=mr^2\dot\theta\hat{\b z}=mr^2\b\omega \]

其中 \(\b L\) 是角动量、\(\b r\) 是相对于原点的位矢、\(\b p\) 是同一坐标系下的动量。

考虑

\[\dot{\b L}=\dot{\b r}\times\b p+\b r\cdot\dot{\b p} \\=\b v\times\b p+\b r\cdot\b F \\=\b r\times\b F=:\b\tau \]

其中，\(\b\tau\) 被称作 扭矩 (torque)。

不受切向力就没有扭矩。没有扭矩就没有角动量变化。进而，由 \(\b\omega=\dfrac{\b L}{mr^2}\) 可以发现，\(r\) 减少会有 \(\omega\) 的增加。其中，\(mr^2\) 被称作 转动惯量 (moment of inertia)。

Meteor Flyby

一个彗星从地球旁边飞过。因为引力总是径向力，所以角动量始终守恒。

这里引出一种想法：富有智慧地选择参考系，使得受力尽量是径向力。

假设初速度是 \(\b v_0\)，且地球距 \(\b v_0\) 所在直线的距离为 \(h\)，则要想彗星不与地球碰撞，有最接近地球时的速度 \(\b v_1\) 和地球半径 \(R\) 的关系满足

\[mv_1R=mv_fh \\\dfrac12mv_1^2-\dfrac12mv_0^2=0+\dfrac{GMm}{R} \]

其中，起始能量是 \(0\) 因为起始距离太远了。因此得到

\[h=R\sqrt{1+\dfrac{2GM}{Rv_0^2}} \]

2nd Kepler

令 \(A\) 为自起始点开始，扫过的面积。则 Kelper 第二定理表明，\(\dot A=\text{Const}\)。

有 \(\d A=\dfrac12(v\d t)r\sin\theta=\dfrac12|\b r\times\b v|\d t\)。于是 \(\dot A=|\b L/2m|\)。

System Angular Momentum

\[\b L_\t{sys}=\sum_i\b L_i \\=\sum\b r_i\times\b p_i \\\dot{\b L}_\t{sys}=\sum_i\b\tau_i \]

我们希望描述 \(\b L_\t{sys}\) 和 \(\b r_\t{com}\) 间的关系。很遗憾，\(\b L_\t{sys}\neq\b r_\t{com}\times\b p_\t{sys}\)。

首先先考察是否有 \(\dot{\b L}_\t{sys}=\sum\b\tau^\t{ext}_i\)。这等效于内部扭矩抵消。

考虑等大反向的 \(\b F_{j,i}\) 和 \(\b F_{i,j}\)，它们分别作用于 \(\b r_i,\b r_j\)。如果它们的 作用方向沿着 \(\b r_{i,j}\) 所在直线，则总影响为

\[\b\tau_{i,j}=\b r_i\times\b F_{j,i}+\b r_j\times\b F_{i,j} \\=(\b r_i-\b r_j)\times\b F_{j,i} \\=\b r_{j,i}\times\b F_{j,i} \\=\b0 \]

此时内部扭矩确实是抵消的。而如果不沿着该直线，则其显然无法抵消。

综上，就算是孤立系统（没有 \(\b F^\t{ext}\)），系统的角动量也可以不守恒……吗？

然而，注意到四大力都是沿连线的力，因此自然确实是角动量守恒的。至于摩擦力这种东西，就应该从微观展开了……吗？

摩擦力是 接触力！因此显然有 \(\b r_i=\b r_j\)！！！

Angular Momentum under Different Reference Points

COMRF 下的角动量显然一般不为零。

\[\b L_A-\b L_B=\b r_{AB}\times\b p_\t{sys} \]

在 COMRF 下，就算 COM 一直在变，但因为 \(\b p_\t{sys}=0\)，所以角动量仍然是守恒的。

但是在 COMRF 下存在惯性力，但是因为

\[\b\tau_\t{inertial}=\sum_i\b r_i'\times\b f_i \\=\sum_i\b r_i\times(-m_i\b a_\t{com}) \\=(-\sum_im_i\b r_i)\times\b a_\t{com} \\=-\b p_\t{com}\times\b a_\t{com}=\b0 \]

所以 COMRF 下不需要考虑惯性力。

考虑 COM 与惯性系下的关系。

\[\b L_\t{sys}-\b L_\t{com}=\sum_i(m_i\b r_i\times\b v_i-m_i\b r_i'\times\b v_i') \]

注意到

\[\b r_i=\b r_i'+\b r_\t{com},\b v_i=\b v_i'+\b v_\t{com} \\\b r_i\times\b v_i=\b r_i'\times\b v_i+\b r_\t{com}\times\b v_\t{com}+\b r_i'\times\b v_\t{com}+\b r_\t{com}\times\b v_i' \]

注意到 \(\sum\b r_i'=\sum\b v_i'=\b0\)，于是有

\[\b L_\t{sys}-\b L_\t{com}=M\b r_\t{com}\times\b v_\t{com} \]

即，惯性系角动量等于质心系角动量加上把质心系当成单点后，该单点在惯性系中的角动量。这一点与动能（惯性系动能等于质心系动能加上质心点动能）相同。

Collision

碰撞时动量守恒。换言之，一切动量守恒的问题都可以尝试使用碰撞问题的模式求解。

完全弹性碰撞时能量也守恒。此时由两个方程，可以由初速度解出末速度。

\[v_{1f}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2i} \\v_{2f}=\dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_{2i}+\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i} \]

当 \(m_1\gg m_2\) 时，则有

\[v_{1f}\approx v_{1i} \\v_{2f}\approx-v_{2i}+2v_{1i} \]

这个式子和 sling shot 的结果完全相同。这是因为 sling shot 过程中能量守恒，所以二者满足相同方程，因此将其当成弹性碰撞也未尝不可。

弹性：动能守恒。非弹性：动能损耗。超弹性：动能增加（？）例如爆炸。完全非弹性：碰撞后粘连。

完全非弹性时，有

\[\Delta K=\dfrac12\mu(v_{1i}-v_{2i})^2 \]

其中 \(\dfrac1\mu=\dfrac1{m_1}+\dfrac1{m_2}\) 是约化质量。

二维碰撞？如果是完全非弹性，则就是一维。

另一种模式是 Pool Balls：运动的球撞击一个静止的等质量球。则有 \(m_1=m_2\)，此时则有 \(v_{1i}=v_{1f}+v_{2f},v_{1i}^2=v_{1f}^2+v_{2f}^2\)。因此，碰撞过后两球速度必然垂直；如果是直线问题，则会有一个静止。

Lifting Strings

长度为 \(l\)、总质量为 \(m\) 的绳子，要保证以匀速 \(v\) 上升，脱离地面的长度 \(x\) 与施加的外力 \(F\) 的关系是？

\[p(t)=\dfrac xl mv \\p(t+\d t)=\dfrac{x+\d x}lmv \\F^\t{net}\d t=\dfrac ml\d x\cdot v \\F^\t{net}=\dfrac ml\dfrac{\d x}{\d t}\cdot v=\dfrac mlv^2 \\F=\dfrac mlxg+\dfrac mlv^2 \]

然而，使用能量的方法，则有

\[E(t)=\dfrac12(\dfrac xlm)^2v^2+(\dfrac mlx)g\dfrac x2 \\E(t)=\dfrac12(\dfrac{x+\d x}lm)^2v^2+(\dfrac ml(x+\d x))g\dfrac{x+\d x}2 \\\Delta E=F\d x \\F=\dfrac12\dfrac mlv^2+\dfrac mlgx \]

出现矛盾！

为什么？一个原因是地上的那部分绳子不可忽略：其支持力和重力不会抵消。但是这部分只是二阶项？

真正原因是，\(\d x\) 这一段的速度由 \(0\) 突变为 \(v\)。这部分应该被看做完全非弹性碰撞。

Rolling Wheel

轮子正在转。轮缘一点 \(P\) 的速度 \(\b v_p\) 可以表示为相对于轮心的速度 \(\b v_p'\) 和轮心速度 \(\b v_\t{com}\)。

有

\[\b v_\t{com}=v_\t{com}\h{\b x} \\\b v_p'=-R\omega_c\h{\b\theta}=R\omega_c\sin\theta\h{\b x}-R\omega_c\cos\theta\h{\b j} \]

当 \(\theta=-\pi/2\)，即接地点处，有速度 \(v=v_\t{com}-R\omega_c\)。

• \(v_\t{com}=R\omega_c\)，此乃 rolling without slipping。
• \(v_\t{com}>R\omega_c\)，此乃 skidding，例如急刹车。
• \(v_\t{com}<R\omega_c\)，此乃 slipping。

Rotational Inertia

考虑关于 \(\h{\b z}\) 轴旋转的刚体。对于位于 \(\b r\) 的某个质点，\(\b r\) 可以分解为 \(z\h{\b z}+\rho\h{\b i}\)，其中 \(\h{\b i}\) 是水平方向向量，会随 \(\b r\) 的变化而变化。则 \(\b p=mv\h{\b j}\)，其中 \(\h{\b j}\) 是与 \(\hb i\) 垂直的向量。则有

\[\b L=(z\hb z+\rho\hb i)\times mv\hb j=-mvz\hb i+mv\rho\hb z \]

其中，前一半是会随着 \(\hb i\) 变动而变动的，然而后一半，\(\b L_z=m\omega z\rho^2\hb z\)，是关于所有位置全同的。因此，即有

\[\b L_z=\Big(\int\rho^2\d m\Big)\b \omega_\t{axis}=I\b\omega \]

其中，

\[I=\int\rho^2\d m=\sum m_i\rho_i^2 \]

即为转动惯量。\(\rho\) 为距转轴的距离。

当转轴不变时，即有

\[\b\tau_z=I\b\alpha_z \]

可以使用之描述动能吗？

\[K=\dfrac12mv^2=\dfrac12\int(\b\omega_z\times\b\rho)^2\d m \\=\dfrac12I\omega^2 \]

Parallel Axis Theorem

对于不过质心的另一条轴，有 \(I=I_\t{com}+md^2\)。

Cylinder Rolling Down

一个转动惯量为 \(I\) 的圆柱从高 \(h\)、夹角 \(\beta\) 的坡顶无滑动滚下。

\[mgh=\dfrac12mv_c^2+\dfrac12I\omega^2 \\I=\dfrac12mr^2 \\\omega=v_c/r \]

解得

\[v_c^2=\dfrac{2gh}{1+\dfrac I{mr^2}} \]

这意味着，如果有两个等质量、等半径但不等惯量的圆柱同步滑落，二者终速不一致。

Change Axis

假设目前沿某个方向的角动量非常大。则如果我们想要调整角动量的方向，就需要一个很大的扭矩。因此，大角动量的旋转体具有保证方位的性质。

旋转体转轴水平，转轴上连接着一根绳子。使用绳子提起旋转体，旋转体有向下偏移的趋势，这需要一个向下的扭矩。

但是注意到重力无法提供向下的扭矩！但是总得有个力抵消重力让它不下落罢？

答曰：转轴的支持力。

总之而言，在初始位置选定后，它的势能会是周围一个与角动量大小有关的邻域中的最小值。但是当角动量很小时，任何扰动都将跳出该邻域，因此其无法保持。

---

重力给它提供的扭矩可以以两种形式出现：连轴带体的向下旋转，或是在旋转体已有扭矩的前提下，将扭矩水平旋转。

Ball Hitting Stick

质量为 \(m\)、速度为 \(v_0\) 的球水平撞向棍底部。

在 com 系下，有

\[L_i=\dfrac l4m(v_0-v_0/2)+\dfrac12m(v_0/2) \\L_f=I_c\omega \]

注意，在 com 系下，棍和球都有初始角动量。

有一个位置满足 \(\omega d=v_0/2\)，即在实验系下静止。

用什么位置击球会让手持端静止？

Stick Connected Balls

两个球 \(2M,M\) 被长为 \(d\) 的轻杆连接。\(M\) 球受到一个垂直杆的瞬时冲力 \(J\)。此后的角速度？

以 \(2M\) 系、以中点系，二者解出的角速度不同。回归 com 系，解得 \(\omega\) 与 \(2M\) 系下的 \(\omega\) 一致。为什么？

答曰：在瞬时冲量后，\(M\)、以及杆上的任意一点，都瞬时移动了，只有 \(2M\) 需要等到棍牵拉后才动。

Simple Harmonic Motion

简谐振动。公式是 \(x(y)=A\cos(\omega t+\phi)\)，其中 \(A\) 是振幅 amplitude，\(\omega\) 是角频率 angular frequency，\(\phi\) 是初相位 initial phase，\(\omega t+\phi\) 为相量 phasor。

满足 \(\ddot x+\omega^2x=0\) 的动力系统都是简谐振动。

另一方面，满足 \(E=K+U=\dfrac12m\dot x^2+\dfrac12k x^2\propto A^2\)，这是另一种简谐振动的刻画。这里的 \(x\) 可以是一切可以被量化的量。

Physical Pendulum

与普通的单摆的区别在于，连于线上的是形状不可忽略之刚体，而非单摆场合的小球。

假设旋转方向始终垂直于摆平面（而非一边摆一边自转），选取摆线的固定点为参考点，唯一扭矩由重力产生，则有

\[-mgl\sin\theta=I\ddot\theta \]

当 \(\theta\ll1\) 时，有 \(\sin\theta\approx\theta\)，因此可以写成

\[\ddot\theta+\dfrac{mgl}I\theta=0 \\\omega=\sqrt{\dfrac{mgl}I} \]

Composition of SHM

两个简谐运动

\[x_1=A_1\cos\omega t \\x_2=A_2\cos(\omega t+\phi) \]

的叠加 \(x=x_1+x_2\) 是什么？使用辅助角公式得到

\[A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\phi} \]

这不是我们余弦定理吗？所以直接把运动向量丢到复平面上然后相加即可。

但是，当 \(\phi=0\) 时，因为 \(E_1\propto A_1^2,E_2\propto A_2^2\)，所以会有 \(E>E_1+E_2\)？多的能量是怎么来的呢？

答曰：因为简谐运动叠加时，被叠加的每个子运动都是 运动 而非 系统，因此二者根本不可比。正如两个动量相加，能量也会大于分别的能量一样。

但是，两个频率不同的简谐运动相加，和就不是简谐运动了。这是合理的：考虑 Fourier 变换。

\[x_1=A\cos\omega_1t \\x_2=A\cos(\omega_2t+\phi) \\x={\color{pink}2A\cos(\dfrac{\omega_1-\omega_2}2t-\dfrac\phi2)}{\color{lightblue}\cos(\dfrac{\omega_1+\omega_2}2t+\dfrac\phi2)} \]

但是，如果它们的频率高度接近，即 \(|\omega_1-\omega_2|\ll\omega_1+\omega_2\) 时，其红色部分类似于一个简谐振动，而蓝色部分是振幅的周期性变化。

考虑令一个点的 \(x=A\cos\omega_x t,y=B\cos(\omega_yt+\phi)\)。则当 \(\omega_x=\omega_y=\omega\) 时，有

\[\dfrac{x^2}{A^2}+\dfrac{y^2}{B^2}-\dfrac{2xy\cos\phi}{AB}=\sin^2\phi \]

是斜椭圆。

特别地，当 \(\phi=0\) 时，运动是 \(y=\dfrac BAx\) 的直线（但是速度是简谐的）；\(\phi=\pi\) 时则有 \(y=-\dfrac BA=x\)。

另一个角度是，如果发现绘图呈直线，则可以知道相对态 \(\phi=0\)。

当 \(\phi=\dfrac\pi2\) 但是 \(\omega_x\neq\omega_y\) 时，一种特殊的情形是 \(\omega_x/\omega_y=1/2\) 的 Lissajous 曲线。进一步，当比值是有理数时，曲线是闭合曲线。

Damped Oscillation

受到一个与速度成正比的阻力，即 \(F=-bv-kx=ma\)，

\[\ddot x+\dfrac bm\dot x+\dfrac kmx=0 \]

将其转化为

\[\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0 \]

的式子，解得

\[x(t)=C_+\exp(\lambda_+t)+C_-\exp(\lambda_-t) \]

其中 \(\lambda_\pm=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\)。

欠阻尼 (under damping)（\(\beta<\omega_0\)）：令 \(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\)，则 \(\lambda_\pm=-\beta\pm\i\omega\)，有 \(x(t)=A\exp(-\beta t)\cos(\omega t+\phi)\)，是振幅不断衰减的振动。

过阻尼 (over damping)（\(\beta>\omega_0\)）：不振动，直接指数衰减。

临界阻尼 (critical damping)（\(\beta=\omega_0\)）：不振动，直接指数衰减，但是衰减速度最快。

在遏制不利振动时，施加恰为临界阻尼的阻力最好。

Forced Oscillation

受到 \(F(t)=F_0\cos\omega t\) 的外力。则有

\[F_0\cos\omega t-kx-b\dot x=m\ddot x \]

令

\[\omega_0^2=k/m,\beta=b/2m,f=F_0/m \]

其中，\(\omega_0\) 是固有频率，则有

\[\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=f\cos\omega x \]

若有 \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\)，则解得

\[A=\dfrac f{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}} \\\tan\phi=\dfrac{2\beta\omega}{\omega^2-\omega_0^2} \]

Wave

\[y(x,t)=A\cos(\omega t-kx+\phi) \]

\(\phi-kx\)：初态 (initial phase)。

波速：相速度要求两个态的 \(y\) 相同，即 \(y(x+\Delta x,t+\Delta t)=y(x,t)\)，然后计算 \(\Delta x/\Delta t\)。有相速度 \(v=\omega/k\)。

周期 \(T=2\pi/\omega\)，波长 \(\lambda=2\pi/k\)。

\[E(x=0)=\dfrac12(\d m)^2\omega^2A^2 \\\ovl{\Big(\dfrac{\d E}{\d x}\Big)}=\dfrac12\mu\omega^2A^2 \]

动力学公式

\[\dfrac{\p^2y}{\p x^2}=\dfrac1{v^2}\dfrac{\p^2y}{\p t^2} \]

\[v=\omega/k=\sqrt{\tau/\mu} \]

其中 \(\mu\) 是线密度，\(\tau\) 是张力。

Interference of Waves

两个除了相位差 \(\phi\) 外均同的波叠加。

\[y(x,t)=y_1(X,t)+y_2(X,t) \\y_1=A\cos(\omega t-kx) \\y_2=A\cos(\omega t-kx+\phi) \\y=2A\cos\dfrac\phi2\cos(\omega t-kx+\dfrac\phi2) \]

其中 \(2A\cos\phi/2\) 是新波振幅。

但是，如果是两个方向相反的行波叠加呢？

\[y_1=A\cos(\omega t-kx) \\y_2=A\cos(\omega t+kx) \\y=2A\cos kx\cos\omega t \]

此乃驻波。