CF Round 1026(Div.2) 解题报告

CF Round 1026(Div.2) 解题报告

ABC

略

D

显然，答案具有单调性，先套二分转判断性问题。

判断就跑拓扑排序即可。

E

图论建模。

将 \((v_i,p_i)\) 视为左部点 \(v_i\) 和右部点 \(p_i\) 的连边，那么有解当且仅当存在欧拉路径。

F

考虑 \(f(a,b)(a<b)\) 有一个性质是 \(b\in (a,2a)\)，则 \(f(a,b)=b\)；

同时还满足 \(f(a,b)\le b\)：考虑 \(b=ka+x(k\in N^*,b\in [0,a))\)，那么 \(f(a,b)=x+a\) 若 \(x+a > b\)，则说明 \(k<1\)，矛盾。

那么考虑新加进来的数 \(x\) 的贡献，记之前的最大值为 \(mx\)：首先 \(x\) 一定会与 \(mx\) 贡献，否则无论如何都不可能使贡献大于序列的严格次小值（因为严格次小值和最大值的贡献不小于严格次小值）。接下来分类讨论：

• 若 \(x\le 2mx\)：则贡献为 \(f(x,mx)\)；（到这里有效贡献都为前缀最大值）
• 若 \(x>2mx\)：此时性质一不成立了，即 \(mx\) 和 \(x\) 匹配不一定最优。那么需要枚举前缀中的每一个值进行计算。

分析时间复杂度：操作一是单次 \(O(1)\) 的，操作二单次 \(O(n)\)，但注意到每次进行操作二最大值翻倍，所以至多进行 \(O(\log V)\) 次。

综上时间复杂度 \(O(n\log V)\)。