摘要：命题 设曲线$\Gamma$满足$$a|z|^2+\overline{\beta}z+\beta\overline{z}+d=0(a,d\in\mathbb R)$$那么:1)若$a=0$且$\beta\neq0$,则表示直线；2)若$a\neq0$且$|\beta|^2-ad>0$,则表示圆周.... 阅读全文

摘要：称函数$$f(z)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right),z\in\mathbb C\setminus\{0\}$$为Rokovsky函数.显然为全纯函数,我们来考虑其单叶性区域,设$f(z_{1})=f(z_{2}),z_{1}\neq z_{2}$易得$$z... 阅读全文

摘要：给学妹讲这部分，感觉还是挺晦涩的，所以想写一下来好好梳理一下.首先对于幂函数$w=z^{\mu}$,很自然的我们定义$$w=e^{\mu{\rm Log}z}=|z|^{\mu}e^{i\mu{\rm Arg}z}$$显然这是一个多值函数,是由${\rm Arg}$的多值性引起的.分以下几种情况来考... 阅读全文

摘要：题目来自史济怀、刘太顺《复变函数》50页的最后两个习题：3.设$f$在$B(0,1)\cup\{1\}$上全纯,并且$$f(B(0,1))\subset B(0,1),f(1)=1$$证明$f'(1)\geq0$.分析 这个题目的几何意义是很清楚的,在$1$附近不能发生旋转,否则无法保证象集还在单... 阅读全文

摘要：全纯函数的实部和虚部是调和函数，这是很显然的.自然的要问一个问题：如果$u$是区域$D$上的调和函数,那么是否一定存在一个函数$f\in H(D)$使得$${\rm Re}f=u$$成立呢？ 一般来讲这个结论不对的.但是如果限制区域$D$是单连通的,那么结论就对了.下面给出这个结论的证明：注意到$\... 阅读全文

摘要：2.设$f,g$都在$z_{0}$处可微且$f(z_{0})=g(z_{0})=0,g'(z_{0})\neq0$.证明:$$\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}.$$证明 注意\begin{align*}\l... 阅读全文