0-1背包问题优化算法详解

★代码实现(python)：

#-*- coding:utf-8 -*-

from copy import copy

def add(p,x,c): #对应元素分别相加，p中每个元素都是元组，x也是一个元组

    resultlist=[(i[0]+x[0],i[1]+x[1]) for i in p if i[0]+x[0]<=c]

    return resultlist

def union(p,q): #求并集，同时删除坏点

    pp=copy(p)

    qq=copy(q)

    delelement=[]

    for i in pp:

        for j in qq:

            if(i[0]>=j[0] and i[1]<=j[1]):

                delelement.append(i)

                break

            if(i[0]<=j[0] and i[1]>=j[1]):

                delelement.append(j)

                break

    for i in delelement:

        if i in pp:

            pp.remove(i)

        else:

            qq.remove(i)

    qq.extend(pp)

    qq.sort()

    return qq

def package2(w,v,c,n):#动态规划主函数

    p=[[]]*(n+2)

    p[n+1]=[(0,0)]

    q= [[]] * (n + 2)

    for i in range(n+1,1,-1):

        q[i]=add(p[i],(w[i-2],v[i-2]),c)

        p[i-1] = union(p[i], q[i])

    return p,q

def out(w,v,p,q,n):   #构造最优解

    maxpoint=p[1][-1]

    choose=[]

    for i in range(1,n+1):

        if((maxpoint in q[i+1]) and (maxpoint not in p[i+1])):

            choose.append(True)

            maxpoint=(maxpoint[0]-w[i-1],maxpoint[1]-v[i-1])

        else:

            choose.append(False)

    print 'max weight and value:', p[1][-1]

    print 'choose or not:', choose

if __name__=='__main__':

    w=[2,2,6,5,4]

    v=[6,3,5,4,6]

    p,q=package2(w, v, 10, 5)

    out(w,v,p,q,5)

★结果输出：

max weight and value: (8, 15)

choose or not: [True, True, False, False, True]

★复杂度分析

从之前的分析过程可以看出，每一个物品都存在选或者不选，如果没有删除坏点，

则要计算的转折点个数为2^n个，即指数级的，但是正是因为中间过程删除了很多

的坏点，因此实际复杂度并不是很高。

和前一篇最直接的动态规划相比，如果背包容量和物品重量的量级相差不大而

物品选择很多时，用直接动态规划方法效果可能更好。

而如果出现入本文开头引入的情况，即背包容量量级很大，而可选物品很少时，

用优化算法要快很多。因此，具体哪种好要视情况而定。

因为博客园编辑公式不太方便，因此写好了文档再截屏的。 以上内容为原创，希望能帮到大家。