洛谷-P17841 Integral 题解

题目大意

给定正整数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)。构造 \(n+2\) 个点 \(P_0,P_1,\dots,P_{n+1}\)，使得

\[S_{\triangle P_{i-1}P_iP{i+1}}=a_i \]

并且这些点按照给定顺序组成严格凸多边形。

解题思路

设点 \(P_i\) 的坐标为 \((x_i,y_i)\)。

我们希望直接用坐标表示三角形面积。

看到三角形面积，想到行列式，三角形面积可以用行列式的绝对值表示

\[S_{\triangle P_{i-1}P_iP{i+1}}=\frac{1}{2}\left| \begin{vmatrix} x_i-x_{i-1}&y_i-y_{i-1}\\ x_{i+1}-x_i&y_{i+1}-y_i \end{vmatrix}\right| \]

我们有 \(2n+4\) 个坐标变量，面积限制只有 \(n\) 个。显然满足题意的构造可以有很多种。

重要思维模式：既然题目允许任意构造，为什么不主动牺牲一些自由度，换取表达式的简单？

二阶行列式满足

\[\det\left( \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\right)=ad-bc \]

如果我们让

\[x_i-x_{i-1}=x_{i+1}-x_i=1 \]

就能化简表达式，不妨令 \(x_i=i\)。这样一来点的坐标变成 \((i,y_i)\)。

然后，题目中限制化简为

\[|(y_{i+1}-y_i)-(y_i-y_{i-1})|=2a_i \]

左侧正是 \(y\) 数列的二阶差分的绝对值。

然后直接对着 \(2a_i\) 数列做两边前缀和就结束了。

因为二阶差分严格 \(>0\)，所以一阶差分严格递增，构造出来的一定是严格凸多边形，满足题意。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
long long a[N];
int n;
signed main(){
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;++i) cin>>a[i],a[i]*=2;
    partial_sum(a,a+n+2,a);
    partial_sum(a,a+n+2,a);
    for(int i=0;i<=n+1;++i) cout<<i<<' '<<a[i]<<'\n';
    return 0;
}