计算机图形学基础

计算机图形学简介

计算机图形学：是研究计算机中对图形表示，计算，渲染过程的科学。主要研究内容如下：
1. 图形建模：研究如何制作建模软件算法等
2. 图形渲染：图像渲染本质上就是CPU端的程序控制GPU行为的过程，控制过程包括数据传输与指令发送（发送渲染指令）。通过图形渲染算法，将模型呈现为真实，虚拟，风格化等各种渲染结果，进行呈现。
3. 动画：研究如何制作动画
4. 模拟仿真：通过物理/几何等算法，模拟物理世界物体之间/物体与环境的真实效果
图形渲染方法：
1. 硬件渲染：通过GPU提供的功能接口，比如说OpenGL，Vulkan，DirectX等，利用GPU硬件进行加速渲染
2. 软件渲染：根据一个画点的功能，自己编写渲染算法，最终在屏幕上呈现三维模型的效果

向量

向量具有大小和方向
向量的长度：记作a向量（x,y,z），则其长度为sqrt(x^2 + y^2 + z^2);
单位向量：长度为1的向量，向量除以向量的长度即为单位向量

2.向量点乘

向量的点乘也叫做内积，其结果是一个标量。
1. 以两个二维向量为例，其内积结果为两个向量对应xy两两相乘的结果，即x1*x2+y1*y2
2. 用向量的长度和两者的夹角来表示：a向量的长度 * b向量的长度 * cosx，其中x为两者的夹角
向量点乘的应用案例：
1. 计算a向量在b向量上的投影向量

2.向量叉乘

注意点乘和叉乘的区别：向量点乘通常用于计算两个向量的夹角，而向量叉乘用于计算两个向量的法向量

二维：(xa,ya)* (xb,yb) = xa*yb - ya*xb，结果是一个标量
三维：结果是一个向量
1. 几何意义：
  1. 产生一个与两个原向量所构成平面垂直的法向量，方向满足右手定则（假设a向量与b向量做叉乘，则四指由a向量握向b向量，大拇指的方向即为法向量的方向）。
  2. 产生向量的模等于两者模的乘积与夹角正弦值的乘积，即||a * b|| = ||a|| * ||b|| * abs(sin)
应用：
1. 求三角形的面积：s = ||a * b|| / 2
2. 判断点是否在三角形内部：根据右手定则，右手四指从a向量开始，移动到b向量，大拇指的指向就是a叉乘b的方向
3. 已知任意两个基向量可以求出另外一个基向量。比如说已知x轴，y轴，则z轴等于x叉乘y（右手坐标系为例子）

直线绘制算法

给定两个点，绘制连接这两个点的直线。

最简单的方案

每次x在变化时，y值根据直线方程y = (int)k * x + b求出，然后绘制该点。这个简单方案的缺点是每次点的绘制都有一次k*x的浮点数乘法操作和+b的浮点数加法操作，效率较低。

Brensenham直线

Brensenham直线绘制算法核心思想：假设当前点已经通过（xi,yi），当x方向前步进+1时，判断下一个点的纵坐标保持不变还是加一。
具体判定规则：计算D0和D1，再计算差值
优点：只使用了整型值数据进行运算与决策，省略了浮点数运算操作，提高了绘制效率。

三角形绘制算法

问题描述：给出屏幕像素上三个点（v0,v1,v2），计算并返回构成三角形所包围的像素集合
算法思想：
1. 寻找本三角形的最小包围盒
2. 遍历包围盒内的像素，使用叉乘判断是否在三角形内
3. 三角形内所有像素组成集合返回

颜色混合

颜色混合：在绘制透明或者半透明物体时，需要将当前物体生成的像素与画布已有的像素进行计算（两种不同的颜色是可以按照比例进行混合的），得到新的像素颜色值的过程
颜色混合依赖透明度值，透明度决定了一个像素的可见性，0表示完全透明，意味着该像素完全不可见；1表示完全不透明，意味着像素完全可见，没有任何透明效果。

插值算法

1.直线的线性插值算法

2.双线性插值算法

描述
计算方法：

3.重心插值算法

根据三角形三个顶点的颜色计算三角形内任意一点的颜色值

空间变换

1.二维变换

在图形学中，通常引入齐次坐标（即引入第三维坐标，通常为1）来统一表示平移，旋转，缩放等变换。
1. 齐次坐标系下的缩放矩阵表示为：对一个二维坐标进行左乘缩放矩阵，就可以完成缩放操作。其中sx为x轴方向的缩放因子，sy为y轴方向的缩放因子
```
sx 0 0
0 sy 0
0 0 1
```
1. 齐次坐标系下的平移矩阵表示为：其中tx为x轴方向上的平移，ty为y轴方向上的平移
```
1 0 tx
0 1 ty
0 0 1
```
1. 齐次坐标系下的旋转矩阵表示为：以(0,0)为原点进行逆时针旋转，a为角度
```
cosa -sina 0
sina cosna 0
0    0     1
```
1. 齐次坐标系下表示缩放平移的矩阵表示如下所示，同理可以表示出旋转平移矩阵。
```
sx 0 tx
0 sy ty
0 0  1
```

2.三维变换

三维坐标系：包含左手坐标系和右手坐标系。例如在OpenGL中采用右手坐标系
三维的缩放和平移操作与二维雷同，只是增加了维度
1. 齐次坐标系下缩放矩阵如下所示：
```
sx 0 0 0
0 sy 0 0
0 0 sz 0
0 0 0  1
```
1. 齐次坐标系下平移矩阵如下所示：
```
1 0 0 tx
0 1 0 ty
0 0 1 tz
0 0 0 1
```
三维世界的旋转：围绕一个基向量以逆时针旋转（x,y,z轴称之为基向量），这种情况下，其中一个轴不变，可以看成二维情况下的旋转
1. 围绕基向量z轴旋转，a为角度，旋转矩阵如下所示：
```
cosa -sina 0 0
sina cosa  0 0
0     0    1 0
0     0    0 1
```
1. 围绕基向量x轴进行旋转，旋转矩阵如下所示：
```
1  0     0    0
0 cosa -sina  0
0 sina  cosa  0
0  0     0    1
```
1. 围绕基向量y轴进行旋转，旋转矩阵如下所示：
```
cosa  0 sina 0
0     1  0   0
-sina 0 cosa 0
0     0  0   1
```
三维世界的旋转：绕任意轴逆时针旋转。一个点的坐标可以理解为对三个基向量的权重比例。（三个基向量分别为（1，0，0），（0，1，0），（0， 0， 1））
1. 旋转变换矩阵，内部的三个列向量就是新坐标系R的三个基向量，按序对应于新的XYZ轴。对于旋转后的P点在原坐标系下的坐标计算可以根据旋转矩阵所得：
2. 旋转变换矩阵如下所示：

本地坐标系和世界坐标系

世界坐标系：用来表示整个世界的东西南北上下
本地坐标系：是固定在物体中心点上的坐标系，用来表示物体前后左右上下

摄像机

渲染技术中，如果坐标系已经确定以及物体位置确定，此时需要确定一台摄像机，描述观察者的身份。
摄像机相关参数：
1. 在世界坐标系中的位置
2. 摄像机看向的方向
3. 摄像机穹顶方向：定义摄像机"头顶"指向哪个方向。这个参数用于解决方向歧义，比如说将摄像机比喻成人，当正立时，穹顶方向为y轴，倒立时为y轴负方向
摄像机的初始状态：
1. 摄像机位置在世界坐标系的原点
2. 摄像机看向的方向为z轴负方向
3. 摄像机的穹顶方向为y轴方向
摄像机的变化状态：经过旋转平移，摄像机位置发生变化。此时需要将物体的顶点坐标由世界坐标系转化到摄像机坐标系中
视图变换矩阵（将顶点坐标从世界坐标系转换到摄像机坐标系的矩阵）：先求得摄像机得变换矩阵，再求其逆矩阵即为视图变换矩阵。注：下图中p为摄像机的当前位置，f为摄像机的朝向，u为头顶向量，其值为r向量和f向量的叉乘，r向量为穹顶向量t和f的叉乘，再求归一化（normalize(f,t)）。r,u,-f本质上即为摄像机坐标系下的xyz轴

投影

1.正交投影（Orthographic Projection）

向幕布进行投影，称之为正交投影，他能更直观得表现出物体在某投影平面的位置关系
正交投影盒空间：定义一个立方体，只有在立方体内的物体才会可视。即在视图变换的结果中，选择一块区域进行渲染显示
正交投影矩阵如下所示：其作用是将摄像机空间中的点转化为屏幕上对应的NDC坐标（NDC坐标系为左手坐标系）

2.透视投影（Perspective Projection）

透视投影：向摄像机镜头点进行汇聚投影。透视投影变换最终目的是将视锥内部的物体压缩到一个xyz为-1~1之间的盒体内，即物体坐标转化为NDC坐标，从而与正交投影统一后续计算。
透视投影和正交投影的区别：透视投影近大远小，正交投影没有远近感
透视投影定义数据：
1. 可视范围：near, far。两者都表示距离，为正数
2. 近平面范围：left,right,top,bottom。left为近平面上最小的x值，有正有负，其余变量的含义同理
透视投影矩阵如下：将摄像机系下的坐标变换到剪裁空间的坐标，其剪裁空间下的坐标的xyz分量值都乘以了一个-z，-z为原摄像机坐标系下坐标的z分量值
1. 剪裁空间坐标如下
2. 使用第三点的定义数据：
3. 参数代换：已知近锥体参数近平面n，远平面f；y方向视张角fovy，近平面横纵百分比aspect