定义7：若二维连续型随机变量\((X,Y)\)的概率密度为：\(f(x,y) = \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} [ \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}\) ，其中\(\mu_1,\ \mu_2,\ \sigma_1^2,\ \sigma_2^2,\ \rho\)都是常数，且\(\sigma_1,\sigma_2 \gt 0,\ |\rho| \le 1,\ -\infty \lt x,y \lt +\infty\)，则称\((X,Y)\)服从二维正态分布，记作：\((X,Y) \sim N(\mu_1,\ \mu_2,\ \sigma_1^2,\ \sigma_2^2,\ \rho)\)。
特别地，若\(\mu_1=\mu_2 = 0,\ \sigma_1^2 = \sigma_2^2 =1\)，即\((X,Y) \sim N(0,0,1,1,\ \rho)\)，则称\((X,Y)\)服从参数为\(\rho\)的标准正态分布，其概率密度为：\(f(x,y) = \frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{x^2 -2\rho xy +y^2}{2(1-\rho^2)}} ,\ \ -\infty \lt x \lt +\infty\) 。
二维正态分布的概率密度很像一顶四周无限延伸的草帽。其中心点在\((\mu_1,\ \mu_2)\)处，其等高线是椭圆。
\(\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar\) 定义要深刻理解
定义8：对于二维连续型随机变量\((X,Y)\)，其分量\(X\)与\(Y\)各自的概率密度分别称为\((X,Y)\)关于\(X\)与关于\(Y\)的边缘概率密度，记为\(f_X(x)\)与\(f_Y(y)\)。
已知二维连续型随机变量\((X,Y)\)的概率密度为\(f(x,y)\)，则：
\(f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy,\ \ \ \ -\infty \lt x \lt +\infty\)
\(f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx,\ \ \ \ -\infty \lt y \lt +\infty\)
事实上，$F_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} (\int_{-\infty}^{x}f(u,v) du) dv = \int_{-\infty}^{x} (\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,v) dv) du $ # \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,v) dv = f_X(u)\)
得：\(F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du\)
同理得：\(F_Y(y) = \int_{-\infty}^{y} f_Y(v) dv\)
\(\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar\)例10：设二维正态随机变量\((X,Y) \sim N(\mu_1,\ \mu_2,\ \sigma_1^2,\ \sigma_2^2,\ \rho)\)，求\((X,Y)\)关于\(X\)与关于\(Y\)的边缘概率密度。
解：根据题目已知信息得\((X,Y)\)的概率密度为：
\(f(x,y) = \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}\)
因为：\(\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2} = [\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 - \rho^2 \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}\)
因此，\(e\)的指数部分进行一系列的等价变换：
\[e的指数部分 \\
\begin{align}
&= -\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}] \\
&= -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \{\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} + [\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 - \rho^2 \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} \}\\
&= -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \{\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - \rho^2 \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} + [\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 \}\\
&= -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \{\frac{(1-\rho^2)(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} + [\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 \}\\
&= -\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} + [-\frac{1}{2(1-\rho^2)}] \{[\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 \}\\
\end{align}
\]
变换后对于整个\((X,Y)\)的概率密度而言就变成了：
\[f(x,y) \\
\begin{align}
&= \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]} \\
&= \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} + [-\frac{1}{2(1-\rho^2)}] \{[\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 \}} \\
&= \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} } \cdot e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} [\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 } \\
\end{align}
\]
根据定义：\(f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy\)，则：
\[f_X(x) \\
\begin{align}
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} } \cdot e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} [\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 } dy \\
&= \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} } \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} [\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 } dy \\
&= \frac{1}{2\pi \sigma_1} \cdot \frac{1}{\sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} [\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 } dy \\
\end{align}
\]
我们令\(t = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}} [\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]\)，则\(t' = \frac{dt}{dy} = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2} \cdot \sigma_2}\)，得：\(dy = \sqrt{1-\rho^2} \cdot \sigma_2 \cdot dt\) ；(积分上下限代换后仍是\((-\infty,+\infty)\)那么上式转化为：
\[f_X(x) \\
\begin{align}
&= \frac{1}{2\pi \sigma_1} \cdot \frac{1}{\sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} [\frac{(y-\mu_2)}{\sigma_2} - \rho\frac{(x-\mu_1)}{\sigma_1}]^2 } dy \\
&= \frac{1}{2\pi \sigma_1} \cdot \frac{1}{\sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2} dt \\
&= \frac{1}{2\pi \sigma_1} \cdot e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt \\
\end{align}
\]
因\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt = 1\)得\(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt = \sqrt{2\pi}\)。 # 特殊积分，人类已知
所以：\(f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_1} e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}}\) ，即\(X \sim N(\mu_1,\ \sigma_1)\)。
同理：\(f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_2} e^{-\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}}\) ，即\(Y \sim N(\mu_2,\ \sigma_2)\)。
这应该是全网最细致的过程讲解吧！_
特别地；若\((X,Y) \sim N(0,0,1,1,\rho)\)则\(X \sim N(0,1),\ \ Y \sim N(0,1)\)；因此，在\((X,Y)\)服从二维正态分布的前提下，它的分量\(X\)和\(Y\)也分别服从一维正态分布，而且边缘概率密度中不含参数\(\rho\)，这说明不同\(\rho\)的二维正态分布的的边缘分布是确定的，但是具有相同边缘分布的二维正态分布可能不同。
例11：设二维随机变量\((X,Y)\)在区域\(D\)上服从均匀分布，其中\(D\)为\(x\)轴、\(y\)轴以及\(y=1-2x\)围成的三角形区域，求\((X,Y)\)的边缘概率密度\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)。
解：先画图
由图知，\(D\)区域的面积为\(S = \frac{1}{4}\)，又因\((X,Y)\)服从均匀分布，因此它的概率密度为：
\[f(x,y)=
\begin{cases}
4,\ \ &(x,y) \in D \\
0,\ \ &其他
\end{cases}
\]
那么\((X,Y)\)关于\(X\)的边缘概率密度为：
\[\begin{align}
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy &=
\begin{cases}
\int_{0}^{1-2x} 4 dy ,\ \ & 0 \le x \le \frac{1}{2} \\
0, & 其他
\end{cases}
\\
&=
\begin{cases}
4(1-2x) ,\ \ & 0 \le x \le \frac{1}{2} \\
0, & 其他
\end{cases}
\end{align}
\]
同理\((X,Y)\)关于\(Y\)的边缘概率密度为：
\[\begin{align}
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx &=
\begin{cases}
\int_{0}^{\frac{1-y}{2}} 4 dx ,\ \ & 0 \le y \le 1 \\
0, & 其他
\end{cases}
\\
&=
\begin{cases}
2(1-y) ,\ \ & 0 \le x \le 1 \\
0, & 其他
\end{cases}
\end{align}
\]
例12：设二维随机变量\((X,Y)\)在区域\(D=\{x^2 \le y \le x,\ 0 \le x \le 1\}\)上服从均匀分布，求\((X,Y)\)的边缘概率密度。
解：画图：
计算区域\(D\)的面积为：\(S = \int_{0}^{1}dx\int_{x^2}^{x}dy = \int_{0}^{1} (x-x^2)dx = (\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3)|_{0}^{1} = \frac{1}{6}\) # 这里是高等数学二重积分的知识
再加上由题目知道\((X,Y)\)服从均匀分布，因此其概率密度为：
\[f(x,y) =
\begin{cases}
6,\ \ & (x,y) \in D \\
0, & 其他
\end{cases}
\]
因此，根据定义知\((X,Y)\)关于\(X\)的边缘概率密度为：
\[\begin{align}
f_X(x) &=
\begin{cases}
\int_{x^2}^{x} 6 dy, \ \ & 0 \le x \le 1 \\
0, &其他
\end{cases}
\\
\\
&=
\begin{cases}
6x-6x^2, \ \ & 0 \le x \le 1 \\
0, &其他
\end{cases}
\end{align}
\]
同理知\((X,Y)\)关于\(Y\)的边缘概率密度为：
\[\begin{align}
f_Y(y) &=
\begin{cases}
\int_{y}^{\sqrt{y}} 6 dx, \ \ & 0 \le y \le 1 \\
0, &其他
\end{cases}
\\
\\
&=
\begin{cases}
6\sqrt{y}-6y, \ \ & 0 \le y \le 1 \\
0, &其他
\end{cases}
\end{align}
\]
例13：设二维随机变量\((X,Y)\)的概率密度为：
\[f(x,y) =
\begin{cases}
8xy,\ \ \ \ &0 \le x \le y \le 1 \\
0, &其他
\end{cases}
\]
求\(P\{X \ge \frac{1}{2}\}\)。
解：画图：
解法一：先计算\((X,Y)\)关于\(X\)的边缘概率密度：
\[\begin{align}
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy &=
\begin{cases}
\int_{x}^{1} 8xy dy,\ \ \ \ &0 \le x \le 1 \\
0, &其他 \\
\end{cases}
\\
\\
&=
\begin{cases}
4x(1-x^2),\ \ \ \ &0 \le x \le 1 \\
0, &其他 \\
\end{cases}
\end{align}
\]
在计算所求概率：
\[\begin{align}
P\{X \gt \frac{1}{2}\} &= \int_{\frac{1}{2}}^{1} f_X(x) dx \\
&= \int_{\frac{1}{2}}^{1} 4x(1-x^2) dx \\
&= (2x^2 -x^4)|_{\frac{1}{2}}^{1} \\
&= \frac{9}{16}
\end{align}
\]
解法二：使用\((X,Y)\)的概率密度直接计算所求概率：
\[\begin{align}
P\{X \gt \frac{1}{2}\} &= \int_{\frac{1}{2}}^{1} (\int_{x}^{1} f(x,y) dy) dx \\
&= \int_{\frac{1}{2}}^{1} (\int_{x}^{1} 8xy dy) dx \\
&= \int_{\frac{1}{2}}^{1} 4x(1-x^2) dx \\
&= (2x^2 -x^4)|_{\frac{1}{2}}^{1} \\
&= \frac{9}{16}
\end{align}
\]
浙公网安备 33010602011771号