【概率论与数理统计】第三章 多维随机变量及其分布(1)
1 多维随机变量的概念
1.1 二维随机变量及其分布函数
在实际问题中，通常需要多个随机变量才能较好地描述某一随机现象；例如，打靶时，弹着点是由两个随机变量所构成的（横、纵坐标）；飞机重心在空中的位置是由三个随机变量（三位坐标）来确定的；学生的考试成绩是由多个随机变量（每门课程的成绩）组成的。
为了研究这些随机现象的规律性，引入了多为随机变量的概念。
定义1：由\(n\)个随机变量\(X_1,\ X_2,\ ...,\ X_n\)构成的整体\(X = (X_1,\ X_2,\ ...,\ X_n)\)，称为\(n\)维随机变量；\(X_k\ (k =1,2,...,n )\)称为\(X\)的第\(k\)个分量</u>。
特别地，当\(n=1\)时，\(X\)称为一维随机变量；当\(n=2\)时，\(X\)称为二维随机变量。
从几何角度看，一维随机变量是直线上的随机点，二维随机变量是平面上的随机点。
定义2：设\((X,Y)\)是二维随机变量，对任意的实数\(x,y\)，二元函数\(F(x,y) = P\{X \le x,\ Y \le y\},\ \ -\infty \lt x,y \lt +\infty\)；称为\(X,Y\)的联合分布函数或者二维随机变量\((X,Y)\)的分布函数。
\(X\)与\(Y\)各自的分布函数分别称为\((X,Y)\)关于\(X\)与关于\(Y\)的边缘分布函数，分别记作\(F_X(x)\)与\(F_Y(y)\)；则：
\(F_X(x) = P\{X \le x\} = P\{X \le x, Y \lt +\infty\} = F(x, +\infty) = \lim_{y \to +\infty} F(x,y)\) ；
\(F_Y(y) = P\{Y \le y\} = P\{X \lt +\infty, Y \le y\} = F(+\infty, y) = \lim_{x \to +\infty} F(x,y)\)。
在几何上，若将二维随机变量\((X,Y)\)看作是平面上随机点的坐标，那么，点\((x,y)\)处的分布函数值\(F(x,y)\)就是随机点\((x,y)\)落在以点\((x,y)\)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。 如图：
随机点落在区域\(\{x_1 \lt X \le x_2,\ y_1 \lt Y \le y_2\}\)的概率为：\(P\{x_1 \lt X \le x_2,\ y_1 \lt Y \le y_2\} = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1)\)。
二维随机变量的分布函数\(F(x,y)\)具有以下性质：
(1) [单调性]： \(F(x,y)\)分别对\(x\)和对\(y\)是单调不减的，即：
当\(x_1 \lt x_2\)时，有\(F(x_1, y) \le F(x_2, y)\)；
当\(y_1 \lt y_2\)时，有\(F(x,y_1) \le F(x,y_2)\)。
(2) [有界性]：对任意的\(x\)和\(y\)，有：\(0 \le F(x,y) \le 1\)且
\(F(-\infty,y) = \lim_{x \to -\infty} F(x,y) = 0\)
\(F(x, -\infty) = \lim_{y \to -\infty} F(x,y) = 0\)
\(F(-\infty, -\infty) = \lim_{x,y \to -\infty} F(x,y) = 0\)
\(F(+\infty,+\infty) = \lim_{x,y \to +\infty} F(x,y) = 1\)
(3) [右连续性]： 对每个变量都是右连续的，即：
\(F(x+0,y) = F(x,y)\)
\(F(x,y+0) = F(x,y)\)
(4) [非负性]： 对任意的\(x_1 \lt x_2, y_1 \lt y_2\)有：
\(P\{x_1 \lt X \le x_2,\ y_1 \lt Y \le y_2\} = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) \ge 0\)
具有上述四条性质的二元函数\(F(x,y)\)一定是某个二维随机变量的分布函数；反之，任意一个二维随机变量的分布函数\(F(x,y)\)必定具备上述性质。
注意：性质4是二维随机变量特有的，一维随机变量没有。
例1：判断二元函数
是否是某个二维随机变量的分布函数。
解：性质1：单调性：\(G'(x,y) = 0\)；证明其单调不减。
性质2：有界性：\(G(x,y)\)的取值只有0和1，满足\(0\le G(x,y) \le 1\)；因此有界。
性质3：满足有连续性 # 应该是不连续才对啊，书本上应该是错了。
性质4：非负性：取\(a=c=-1,\ \ b=d=1\)，则\(P\{a \lt X \le b,\ c \lt y \le d\} = F(b,d) - F(b,c) - F(a,d) - F(a,c) = 1 - 1 - 1 + 0 = -1\)；因此不满足非负性。
综上，它不是某个二维随机变量的分布函数。
1.2 二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律
定义3：若随机变量\((X,Y)\)的取值只是有限对或者可列的无限多对，则称\((X,Y)\)为二维离散型随机变量。
设二维离散型随机变量\((X,Y)\)的所有可能取的值为\((x_i, y_j),\ \ i,j = 1,2,...\)；其相应的概率为：\(P\{X=x_i,\ Y=y_j\} = p_{ij}\)；则称\(p_{ij}\)为二维离散型随机变量\((X,Y)\)的分布律或\(X\)与\(Y\)的联合分布律。
\((X,Y)\)的分布律也可以用表格形式表达：
| X | Y | Y | Y | Y | Y |
|---|---|---|---|---|---|
| X | \(y_1\) | \(y_2\) | ... | \(y_i\) | ... |
| \(x_1\) | \(p_{11}\) | \(p_{12}\) | ... | \(p_{1j}\) | ... |
| \(x_2\) | \(p_{21}\) | \(p_{22}\) | ... | \(p_{2j}\) | ... |
| ... | .... | ... | ... | ... | ... |
| \(x_i\) | \(p_{i1}\) | \(p_{i2}\) | ... | \(p_{ij}\) | ... |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
显然，二维离散型随机变量\((X,Y)\)的分布律具有如下两条基本性质：
(1) 非负性：\(p_{ij} \ge 0,\ \ i,j = 1,2,...\) ；
(2) 规范性：\(\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1\) 。
例2：设二维随机变量\((X,Y)\)的分布律为：
| X | Y | Y | Y |
|---|---|---|---|
| X | 1 | 2 | 3 |
| 1 | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{a}{6}\) | \(\frac{1}{4}\) |
| 2 | 0 | \(\frac{1}{4}\) | \(a^2\) |
求\(a\)的值。
解：由分布律的性质知：\(\frac{1}{3} + \frac{a}{6} + \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} + a^2 = 1\)
即：\(6a^2 + a -1 = (2a + 1)(3a - 1) = 0\ \ \ \ \ \ \therefore a = -\frac{1}{2},\ \ \ a = \frac{1}{3}\)
由于分布律的非负性得：\(a = \frac{1}{3}\)
例3：设二维随机变量\((X,Y)\)得分布律为：
| X | Y | Y | Y |
|---|---|---|---|
| X | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 0.1 | 0.1 | 0.3 |
| 1 | 0.25 | 0 | 0.25 |
求：（1）\(P\{X = 0\}\)； （2）\(P\{Y \le 2\}\)； （3）\(P\{X \lt 1,\ Y \le 2\}\)； （4）\(P\{X+Y = 2\}\)；
解：（1）\(\{X = 0\} = \{X=0,Y=1\} \cup \{X=0,Y=3\} \cup \{X=0,Y=3\}\)，且他们之间互不相容，所以：\(P\{X=0\} = 0.1 + 0.1 + 0.3 = 0.5\)
（2）\(\{Y \le 2\} = \{Y = 1\} + \{Y = 2\} = \{X=0,Y=1\} \cup \{X=1,Y=1\} \cup \{X=0,Y=2\} \cup \{X=1,Y=2\}\) ，且他们之间互不相容，所以：\(P\{Y \le 2\} = 0.1 + 0.25 + 0.1 + 0 = 0.45\)
（3）\(\{X \lt 1, Y\le 2\} = \{X=0, Y=1\} \cup \{X=0, Y=2\}\) ，且他们之间互不相容，所以：\(\{X \lt 1, Y\le 2\} = 0.1 + 0.1 = 0.2\)
（4）\(P\{X+Y = 2\} = P\{X=0,Y=2\} \cup \{X=1,Y=1\}\) ，且他们之间互不相容，所以：\(P\{X+Y = 2\} = 0.1 + 0.25 = 0.35\)
例4：现有3个整数\(1,2,3\)，\(X\)表示从这3个数中随机抽取1个整数，\(Y\)表示从\(1\)到\(X\)中随机抽取1个整数，试求\((X,Y)\)的分布律。
解：\(X\)与\(Y\)可能的取值均为\(1,2,3\)，利用概率乘法公式，可得\((X,Y)\)取各对数值的概率分别是：
\(P\{X=1,Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}\)
\(P\{X=2,Y=1\} = P\{X=2\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\)
\(P\{X=2,Y=2\} = P\{X=2\} \cdot P\{Y=2\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\)
\(P\{X=3,Y=1\} = P\{X=3\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\)
\(P\{X=3,Y=2\} = P\{X=3\} \cdot P\{Y=2\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\)
\(P\{X=3,Y=3\} = P\{X=3\} \cdot P\{Y=3\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\)
另外，\(\{X=1,Y=2\},\ \{X=1,Y=3\},\ \{X=2,Y=3\}\)为不可能事件，概率均为0，从而\((X,Y)\)的分布律为：
| X | Y | Y | Y |
|---|---|---|---|
| X | 1 | 2 | 3 |
| 1 | \(\frac{1}{3}\) | 0 | 0 |
| 2 | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | 0 |
| 3 | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) |
定义4：对于二维离散型随机变量\((X,Y)\)，其分量\(X\)与\(Y\)各自的分布律分别称为\((X,Y)\)关于\(X\)与关于\(Y\)的边缘分布律，记作：
\(p_{i\cdot},\ i=1,2,...\)与\(p_{\cdot j},\ j=1,2,...\) 。
已知二维离散型随机变量\((X,Y)\)的分布律为：\(p_{ij} = P\{X=x_i,Y = y_j\},\ \ i,j = 1,2,...\) ，则\((X,Y)\)关于\(X\)的边缘分布律为：
\(p_{i\cdot} = P\{X=x_i\} = \sum_{j=1}^{\infty} P\{X=x_i,Y=Y_j\} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} ,\ \ i=1,2,...\)；
同理，\((X,Y)\)关于\(Y\)的边缘分布律为：
\(p_{\cdot j} = P\{Y=y_j\} = \sum_{i=1}^{\infty} P\{X=x_i,Y=Y_j\} = \sum_{i=1}^{\infty} p_{ij} ,\ \ j=1,2,...\)；
\((X,Y)\)的边缘分布律明显地具有以下性质：
\(p_{i\cdot} \ge 0,\ \ p_{\cdot j} \ge 0 ;\ \ \ \ i,j=1,2,...\) ； # 概率值肯定是正数，其实还得\(\le 1\)
\(\sum_{i=1}^{\infty} p_{i\cdot} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{\cdot j} = 1\)。 # 实际上就是整个分布律表相加，这就包含了全部取值可能，结果肯定是1
例5：现有3个整数\(1,2,3\)，\(X\)表示从这3个数中随机抽取1个整数，\(Y\)表示从\(1\)到\(X\)中随机抽取1个整数。（同例4）求\((X,Y)\)的边缘分布律。
解：首先，利用例4解得的\((X,Y)\)的分布律：
| X | Y | Y | Y |
|---|---|---|---|
| X | 1 | 2 | 3 |
| 1 | \(\frac{1}{3}\) | 0 | 0 |
| 2 | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | 0 |
| 3 | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) |
然后，分别计算关于\(X\)和\(Y\)的边缘分布律；
关于\(X\)的边缘分布律：
\(P\{X=1\} = P\{X=1,Y=1\} + P\{X=1,Y=2\} + P\{X=1,Y=3\} = p_{1\cdot} = \frac{1}{3} + 0 + 0 = \frac{1}{3}\)
\(P\{X=2\} = P\{X=2,Y=1\} + P\{X=2,Y=2\} + P\{X=2,Y=3\} = p_{2\cdot} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + 0 = \frac{1}{3}\)
\(P\{X=3\} = P\{X=3,Y=1\} + P\{X=3,Y=2\} + P\{X=3,Y=3\} = p_{3\cdot} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}\)
关于\(Y\)的边缘分布律：
\(P\{Y=1\} = P\{X=1,Y=1\} + P\{X=2,Y=1\} + P\{X=3,Y=1\} = p_{\cdot 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{11}{18}\)
\(P\{Y=2\} = P\{X=1,Y=2\} + P\{X=2,Y=2\} + P\{X=3,Y=2\} = p_{\cdot 2} = 0 + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{5}{18}\)
\(P\{Y=3\} = P\{X=1,Y=3\} + P\{X=2,Y=3\} + P\{X=3,Y=3\} = p_{\cdot 3} = 0 + 0 + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}\)
可将\((X,Y)\)的分布律即边缘分布律写在同一张表中：
| X | Y | Y | Y | \(p_{i\cdot}\) |
|---|---|---|---|---|
| X | 1 | 2 | 3 | \(p_{i\cdot}\) |
| 1 | \(\frac{1}{3}\) | 0 | 0 | \(\frac{1}{3}\) |
| 2 | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | 0 | \(\frac{1}{3}\) |
| 3 | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(p_{\cdot j}\) | \(\frac{11}{18}\) | \(\frac{5}{18}\) | \(\frac{1}{9}\) | 1 |
汇总下表格各区域的含义：
值得注意的是：
对于二维离散型随机变量\((X,Y)\)虽然他们的分布律可以确定他们的边缘分布律，但是一般情况下，边缘分布律是不能确定其分布律的。
例6：盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一个球；连续取两次，记事件\(X、Y\)分别表示第一、二次是否取到红球，"1"表示取到红球，"0"表示取到白球；分别进行有放回取球和无放回取球，分别求出两种情形下\((X,Y)\)的分布律与边缘分布律。
解：（1）有放回地取球情形
记事件\(\{X=1\}\)表示第一次取球取到的是红球，\(\{X=0\}\)表示第一次取球取到的是白球，则\(X\)的分布律为：
\(P\{X=1\} = \frac{2}{5},\ \ P\{X=0\} = \frac{3}{5}\)；
同理，记事件\(\{Y=1\}\)表示第二次取球取到的是红球，\(\{Y=0\}\)表示第二次取球取到的是白球，则\(Y\)的分布律为：
\(P\{Y=1\} = \frac{2}{5},\ \ P\{Y=0\} = \frac{3}{5}\)；
因执行的是有放回地取球，因此随机事件\(X\)与\(Y\)相互独立，所以：
\(P\{X=0,Y=0\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\)
\(P\{X=0,Y=1\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{25}\)
\(P\{X=1,Y=0\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{25}\)
\(P\{X=1,Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}\)
综上，\((X,Y)\)的分布律及边缘分布律为：
| X | Y | Y | \(p_{i\cdot}\) |
|---|---|---|---|
| X | 0 | 1 | \(p_{i\cdot}\) |
| 0 | \(\frac{9}{25}\) | \(\frac{6}{25}\) | \(\frac{3}{5}\) |
| 1 | \(\frac{6}{25}\) | \(\frac{4}{25}\) | \(\frac{2}{5}\) |
| \(p_{\cdot j}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) | 1 |
（2）不放回地取球情形
记事件\(\{X=1\}\)表示第一次取球取到的是红球，\(\{X=0\}\)表示第一次取球取到的是白球，则\(X\)的分布律为：
\(P\{X=1\} = \frac{2}{5},\ \ P\{X=0\} = \frac{3}{5}\)；
同理，记事件\(\{Y=1\}\)表示第二次取球取到的是红球，\(\{Y=0\}\)表示第二次取球取到的是白球，但\(Y\)的分布律受\(X\)取值的影响：
当\(X=1\)时：\(P\{Y=1\} = \frac{1}{4},\ \ P\{Y=0\} = \frac{3}{4}\)；
当\(X=0\)时：\(P\{Y=1\} = \frac{2}{4},\ \ P\{Y=0\} = \frac{2}{4}\)；
因执行的是不放回地取球，因此随机事件\(X\)与\(Y\)并不是相互独立，所以：
\(P\{X=0,Y=0\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\)
\(P\{X=0,Y=1\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\)
\(P\{X=1,Y=0\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}\)
\(P\{X=1,Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}\)
综上，\((X,Y)\)的分布律及边缘分布律为：
| X | Y | Y | \(p_{i\cdot}\) |
|---|---|---|---|
| X | 0 | 1 | \(p_{i\cdot}\) |
| 0 | \(\frac{3}{10}\) | \(\frac{3}{10}\) | \(\frac{3}{5}\) |
| 1 | \(\frac{3}{10}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{2}{5}\) |
| \(p_{\cdot j}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) | 1 |
由此可见，对于有放回和不放回取样\((X,Y)\)的边缘分布律完全相同，但是\((X,Y)\)的分布律却不相同，这表明\((X,Y)\)的分布律不仅反映了两个分量的概率分布，还反映了\(X\)与\(Y\)之间的关系；因此，在研究二维随机变量时，不仅要考察两个分量各自的概率性质，还要考虑他们之间的关系，即，将\((X,Y)\)作为一个整体来研究。
1.3 二维连续型随机变量的概率密度和连续概率密度
定义5： 设二维连续型随机变量\((X,Y)\)的分布函数\(F(x,y)\)，若存在非负可积的二元函数\(f(x,y)\)，使得对于任意的\(x,y\)都有：
\(F(x,y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y}f(u,v) dudv\) ，
则称\(f(x,y)\)是\((X,Y)\)的概率密度函数或者简称为：概率密度。
\((X,Y)\)的概率密度\(f(x,y)\)满足以下性质：
①非负性：\(f(x,y) \ge 0\)
②规范性：\(\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y) dxdy = 1\)
③若\(f(x,y)\)在点\((x,y)\)处连续，则有：
\(\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial{x} \partial{y}} = f(x,y)\)
④设\(D\)是\(XOY\)平面上的一个区域，则二维随机变量\((X,Y)\)落在\(D\)内的概率为\(P\{(X,Y) \in D\} = \iint_{D} f(x,y) dxdy\)
例7：设二维随机变量\((X,Y)\)的概率密度为：
求\((X,Y)\)的分布函数\(F(x,y)\)。
解：当\(x \le 0\)或\(y \le 0\)时有：\(F(x,y) = 0\)；
当\(x \gt 0, y \gt 0\)时有：
所以，\((X,Y)\)的分布函数为：
例8：设二维随机变量\((X,Y)\)的分布函数为：\(F(x,y) = a(b + \arctan{x})(c + \arctan{y}),\ \ -\infty \lt x,y \lt +\infty\) ；
求（1）常数\(a,b,c\)； （2）\((X,Y)\)的概率密度。
解：（1）由分布函数的性质可知：
\(F(+\infty,\ +\infty) = 1 = a(b + \frac{\pi}{2})(c+\frac{\pi}{2})\)
\(F(x,\ -\infty) = 0 = a(b + \arctan{x})(c - \frac{\pi}{2})\)
\(F(-\infty,\ y) = 0 = a(b - \frac{\pi}{2})(c + \arctan{y})\)
得：\(a = \frac{1}{\pi^2},\ \ b = \frac{\pi}{2},\ \ c = \frac{\pi}{2}\)
（2）由以上知，\((X,Y)\)的分布函数为：\(F(x,y) = \frac{1}{\pi^2}(\frac{\pi}{2} + \arctan{x})(\frac{\pi}{2} + \arctan{y}),\ \ -\infty \lt x,y \lt +\infty\) ；
所以其概率密度为：\(F(x,y) = \frac{1}{\pi^2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{1}{1+y^2} = \frac{1}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)},\ \ -\infty \lt x,y \lt +\infty\)
定义6：设\(D\)是平面上的一个区域，其面积\(S \gt 0\)，若二维连续型随机变量\((X,Y)\)的概率密度为：
则称\((X,Y)\)在区域\(D\)上服从均匀分布，记作\((X,Y) \sim U(D)\)。
若\((X,Y) \sim U(D),\ \ D_1 \subset D\)，\(D_1\)的面积为\(S_1\)，则\(P\{(x,y) \in D_1\} = \frac{S_1}{S}\)；特别地，有以下两种情形：
①\(D\)是矩形区域，\(a \lt x \le b,\ c \lt y \le d,\ (X,Y) \sim U(D)\)；则\((X,Y)\)的概率密度为：
②\(D\)是圆形区域，\(x^2 + y^2 \le R^2,\ (X,Y) \sim U(D)\)；则\((X,Y)\)的概率密度为：
\(\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar\) 一句话就是：落在区域内，其概率密度就是\(\frac{1}{S}\)；各种规则的区域有现成的面积公式，不规则的区域就是要微积分的方法计算面积。
例9：设二维随机变量\((X,Y)\)在区域\(D = \{(x,y) | y \le x,\ 0 \le x \le 1,\ y \ge 0\}\)上服从均匀分布，求\(P\{X+Y \le 1\}\)。
解：涉及到二重积分的问题建议首先画图：
区域D的面积：\(S = \frac{1}{2}\)；由题目知，\((X,Y) \sim U(D)\)，则其概率密度为：
需要求的\(P\{X+Y \le 1\}\)代表的是\((x,y)\)落在\(x+y \le 1\)区域\(D_1\)内的概率，在图中描述为：(忽略途中坐标比例问题_)
则：\(P\{X+Y \le 1\} = \iint_{x+1 \le 1}f(x,y)dxdy = \iint_{D_1} f(x,y) dxdy = \iint_{D_1} 2 dxdy\)
当然我们可以利用二重积分的只是解得最终结果，但更方面的是，我们可以直接根据\(\iint_{D_1} 1dxdy = S_{D_1}\)的实际意义得出：
\(P\{X+Y \le 1\} = 2S_{D_1} = \frac{1}{4}\)
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