【概率论与数理统计】第一章 随机事件与概率(1)

1 随机事件

1.1 随机现象

自然界和社会中存在两类现象：

• 确定性现象（一定条件实现时，一定发生；可预测。）
• 随机性现象（一定条件实现时，结果无法断言。）

随机现象的研究是建立在大量重复试验或观察之上的。人们发现随机现象的结果出现某些规律性，这种规律性就是所谓的统计规律性。

《概率论与数理统计》课程就是研究和揭示随机现象统计规律的学科；随机现象是本课程的主要研究对象。

1.2 随机试验和样本空间

随机试验的共同点：

①可重复性（相同条件下可重复进行）

②一次实验结果的随机性（预先无法断言）

③全部试验结果的可知性（所有可能的试验结果是可知的）

满足以上所有三个特点的试验称为随机试验，用\(E\)表示。（本课程的试验均指随机试验）

随机试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，用\(\omega\)表示；把试验\(E\)的所有可能的结果组成的集合称作样本空间，用\(\Omega\)表示。

==>样本空间中所含样本点的个数可以是无限个也可以是有限个。

==>样本点是随机试验最基本且不可再分的结果。

==>当随机试验的内容确定后，样本空间也就随即确定。

1.3 随机事件的概念

理论上称随机试验\(E\)所对应的样本空间\(\Omega\)的某一个子集为：\(E\)的一个随机事件\(A\)（一般用\(A、B、C、D\)……表示），简称"事件"。

在每一次试验中，当这属于某一随机事件A中的一个样本点\(t\)出现时(即\(t \in A\))称为该随机事件A发生。

若\(\Omega\)的子集\(A\)仅包含1个样本点\(\omega\)，即\(A = \{ \omega \}\)；这种事件称为基本事件。

因\(\Omega\)是自身的子集，它在每次试验中必然发生，因此称为必然事件，仍然记作\(\Omega\)。

空集\(\emptyset\)不含任何样本点，它也是\(\Omega\)的子集，称为不可能事件。

这里的事件与通俗含义和理论意义存在差异，需要特别注意。

1.4 随机事件的关系与运算

事件与事件之间有一定的关系，事件可以用集合表示，因此他们之间的关系运算可以按照集合论中的集合运算处理。

1.4.1 事件的包含与相等

事件\(A、B\)，若事件\(A\)发生则\(B\)必然发生，则\(A \subset B\)或\(B \supset A\)；显然：

①\(\emptyset \subset A \subset B\)；

②若\(A \subset B\)且\(B \subset A\)，则\(A = B\)。(A与B相等，它们是同一事件的不同表述。)

1.4.2 和事件

称事件\(A、B\)中至少有一个发生为事件\(A\)与事件\(B\)的和事件，也称为\(A\)和\(B\)的并，记作\(A \cup B\)；代表：只有A发生或者只有B发生或者A和B都发生。显然：

①\(A \subset A \cup B, \ B \subset A\cup B\)；

②\(A \subset B, \ A \cup B = B\)。

1.4.3 积事件

称事件A、B同时发生为事件A与事件B的积事件，也称为A和B的交，记作\(A \cap B\)，简记为\(AB\)。显然：

①\(AB \subset A, AB \subset B\)；

②若\(A \subset B\)，则\(AB = A\)。

1.4.4 差事件

称事件\(A\)发生且事件\(B\)不发生为事件A对事件B的差事件，记作\(A - B\)。显然：

①\(A - B \subset A\)；

②若\(A \subset B\)，则\(A - B = \emptyset\)。

1.4.5 互不相容

称事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生为事件\(A\)与事件\(B\)互不相容或者互斥，即\(AB = \emptyset\)。

1.4.6 对立事件

称事件A不发生的事件为事件A的对立事件，也叫余事件或者逆事件，记作\(\overline{A}\)。

实际上这些事件的关系和集合运算中的交并补差是一致的。

1.4.7 事件关系的运算规律

交换律：\(A \cup B = B \cup A, \ \ \ \ A \cap B = B \cap A\)

结合律：\(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\)

​ \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\)

分配律：\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)

​ \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)

对偶律：\(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A} \overline{B}\)

​ \(\overline{A \cap B} = \overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B}\)

注意：\(\overline{AB}\)与\(\overline{A} \overline{B}\)并不是一样的!!

【例子1】设\(A、B、C\)为事件，请用运算式表示下列事件：

(1)仅\(A\)发生

(2)\(A、B、C\)都发生

(3)\(A、B、C\)都不发生

(4)\(A、B、C\)不全发生

(5)\(A、B、C\)恰有一个发生

解：

\((1)A \overline{B} \overline{C}\)或者\(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}\)

\((2)ABC\) 或者\(A \cap B \cap C\)

\((3)\overline{A} \overline{B} \overline{C}\) 或者\(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\)

\((4)\overline{ABC}\)或者\(\overline{A \cap B \cap C}\)

\((5)A \overline{B} \overline{C} \cup \overline{A} B \overline{C} \cup \overline{A} \overline{B} C\)或者\((A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)\)

【例子2】某射手向一目标射击三次，\(A_i\)表示"第\(i\)次命中目标，\(i = 1,2,3\)"；\(B_j\)表示"三次射击后命中的次数，\(j = 0,1,2,3\)"。尝试使用运算式表示\(B_j, j=0，1，2，3\)。

解：

\(B_0 = \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3} = \overline{A_1}\ \overline{A_2} \ \overline{A_3}\)

\(B_1 = A_1 \overline{A_2} \ \overline{A_3} \cup \overline{A_1} A_2 \overline{A_3} \cup \overline{A_1} \ \overline{A_2} A_3\)

\(B_2 = A_1 A_2 \overline{A_3} \cup A_1 \overline{A_2} A3 \cup \overline{A_1} A_2 A_3\)

\(B_3 = A_1 A_2 A_3\)

2 概率

2.1 频率与概率

在某试验中事件\(A\)发生的概率记作\(P(A)\)。

事件概率定义的实际背景：事件的频率和古典概型。

在相同的条件下，进行了\(n\)次试验，事件\(A\)发生的次数为\(n_A\)，称作事件\(A\)发生的频数，而比值\(\frac{n_A}{n}\)称为事件A发生的频率，记作\(f_n(A)\)。

在实践中，随着试验次数\(n\)的大量增加，频率\(f_n(a)\)会逐渐稳定于某一常数，该常数称为频率的稳定值，其实这个稳定值就是事件A的概率\(P(A)\)。

通过频率稳定值去描述事件的概率有它的缺点，因为在现实世界中，人们无法把一个试验无限重复下去，所以难以得到精确的频率稳定值，但可以提供一个可供猜想的具体值，也就是一个近似值。

根据频率的定义，很容易得到以下基本性质：

(1)\(0 \le f_n(A) \le 1\)

进行\(n\)次试验，事件\(A\)发生\(n_A\)次，\(0 \le n_A \le n\)，则：\(0 \le [\frac{n_A}{n} = f_n(A)] \le [\frac{n}{n} = 1]\)。

(2)\(f_n(\emptyset) = 0, \ \ f_n(\Omega) = 1\)

进行\(n\)次试验，不可能事件\(\emptyset\)发生次数为0，即\(n_{\emptyset}=0\)；故：\(f_n{\emptyset} = \frac{n_{\emptyset}}{n} = 0\)。

又因必然事件\(\Omega\)一定发生\(n\)次，即\(n_{\Omega} = n\)；从而：\(f_n{\Omega} = \frac{n}{n} = 1\)。

(3)若事件\(A\)与\(B\)互不相容，则\(f_n(A \cup B) = f(A) + f(B)\)

特别要注意：互补相容的两个事件没有交集；且他们的并集可能是整个\(\Omega\)也可能不是。

进行\(n\)次试验，事件\(A\)发生\(n_A\)次，事件\(B\)发生\(n_B\)次，因为\(A\)与\(B\)互不相容，即\(A\cap B = AB = \emptyset\)；所以\(A \cup B\)发生的次数为\(n_{A \cup B} = n_A + n_B\)次；故：

\(f_n(A \cup B) = \frac{n_{A \cup B}}{n} = \frac{n_A + n_B}{n} = \frac{n_A}{n} + \frac{n_B}{n} = f_n(A) + f_n(B)\)

由于频率是概率的近似值，因此不难想到概率\(P(A)\)也应有类似的性质。

2.2 古典概型

古典概型是概率论发展史上首先被人们研究的一类概率模型，它出现在较简单的一类随机试验中，在这类随机试验中总共只有有限个不同的结果，并且每个结果出现的机会相等。（这是非常特殊的一类）

最典型的例子有：掷硬币，投骰子。

理论上具有下面两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型：

①基本事件的总数有限，即样本空间中的样本点数是有限个。

②每个基本事件发生的可能性相同。

下面介绍古典概型事件概率的计算公式，这随机试验\(E\)的样本空间为\(\Omega\)，其中所含样本点总数为\(n\)；\(A\)是其中的某一随机事件，\(A\)所包含的 样本点数为\(r\)，则有：

\(P(A) = \frac{r}{n} = \frac{A中样本点数}{\Omega中样本点数}\)

例2：抛一枚硬币3次，设事件\(A\)为"恰有一次出现反面"，事件\(B\)为"三次均出现反面"，事件\(C\)为"至少一次出现正面"，试求\(P(A),P(B),P(C)\)。

解法一：设正面\(H\)，反面\(T\)，则样本空间\(\Omega = \{ HHH, THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT\}\)，样本点总数\(n=8\)，又因为：

\(A = \{TTH, THT, HTT \}\)，

\(B = \{TTT\}\)，

\(C=\{ HHH, THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT\}\)，

所以\(A,B,C\)样本点数分别为：

\(r_A = 3, \ \ r_B = 1, \ \ r_C = 7\)

则：\(P(A) = \frac{r_a}{n} = \frac{3}{8}, \ \ P(B) = \frac{r_B}{n}=\frac{1}{8}, \ \ P(C) = \frac{r_C}{n} = \frac{7}{8}\)。

解法二：利用排列组合的知识，抛一枚硬币3次，其基本事件总数为\(n=2^3=8\)，同样地利用排列组合知识分析得：

\(A\)包含3个基本事件："第\(i\)次反面，其他两次正面，\(i=1,2,3\)"，所以\(r_A = 3\)；

\(B\)只包含1个基本事件，\(r_B = 1\)；

而\(C\)与\(B\)为对立事件，它包含的基本事件数为\(r_C = n - r_B = 7\)；

故得：\(P(A) = \frac{r_a}{n} = \frac{3}{8}, \ \ P(B) = \frac{r_B}{n}=\frac{1}{8}, \ \ P(C) = \frac{r_C}{n} = \frac{7}{8}\)。

例3：从\(0 \sim 9\)十个数字中任意选出3个不同数字，试求3个数字中不含0和5的概率。

解：设事件\(A\)表示"三个数字中不含0和5"；

从10个数字中任意选择三个不同的数字，共有\(C^3_{10}\)种选法，即基本事件总数\(n = C_{10}^3\)；而事件\(A\)表示从\(1,2,3,4,6,7,8,9\)共8个数字中选择三个数字，共有\(C_8^3\)种选法，即\(A\)包含的基本事件数\(r_A = C_8^3\)；因此：

\(P(A) = \frac{n_A}{n} = \frac{C_8^3}{C_{10}^3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{10 \times 9 \times 8} = \frac{7}{15}\)

例4：从\(1 \sim 9\)这9个数字种任意取一个数，取后放回，而后再取一个数，试求取出的两个数字不同的概率。

解：基本事件总数\(n = C_9^1 \times C_9^1 = 81\)；

设事件\(A\)表示"取出的两个数字不同"，因此\(A\)包含的基本事件数为\(r_A = C_9^1 \times C_8^1 = 72\)；故：

概率\(P(A) = \frac{r_A}{n} = \frac{8}{9}\)

例5：袋中有5个黑球、3个白球，从中任取两个，试求取到两个球颜色相同的概率。

解：8球任取2个的试验岩本空间包含的基本事件总数\(n = C_8^2\)；

设\(A\)表示"取到两个球颜色相同"；\(A\)包含两种情况：全是黑球或者全是白球；

全是黑球的取法总数有\(C_5^2\)，全是白球的取法总数有\(C_3^2\)；所以\(A\)的取法即\(A\)包含的基本事件：\(r_A = C_5^2 + C_3^2\)；故：

概率\(P(A) = \frac{r_A}{n} = \frac{(5 \times 4) + (3 \times 2)}{8 \times 7} = \frac{13}{28}\)

例6：一批产品共100件，其中3件次品，现从该批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情形：

①不放回抽样（第一件取出后不放回，在抽取第二件）

②放回抽样（第一件取出后放回，再抽取第二件）

试分别求第一次抽取到正品，第二次抽取到次品的事件\(A\)的概率。

解：①不放回抽样；基本事件总数\(n = C_{100}^2 = 100 \times 99\)；其中事件A包含的基本事件总数为\(r_A = C_{97}^1 \times C_3^1 = 97 \times 3\)；故：

概率\(P(A) = \frac{r_A}{n} = \frac{97 \times 3}{100 \times 99} \approx 0.0294\)

②放回抽样；基本事件总数\(n = C_{100}^1 \times C_{100}^1 = 100 \times 100\)；其中事件A包含的基本事件总数仍为\(r_A = C_{97}^1 \times C_3^1 = 97 \times 3\)；故：

概率\(P(A) = \frac{r_A}{n} = \frac{97 \times 3}{100 \times 100} \approx 0.0291\)

2.3 概率的定义与性质

前面对于概率的定义只是针对特殊情况给出的，不具备一般性，因此我们进一步概括：

定义1：设\(\Omega\)是随机试验\(E\)的样本空间，对于\(E\)的每一个事件\(A\)赋予一个实数，记作\(P(A)\)，称\(P(A)\)为事件\(A\)的概率，如果它满足以下条件：

①\(P(A) \ge 0\)；

②\(P(\Omega) = 1\)；

③设$A_1,\ A_2,\ …, \ A_m,\ … $ 是一列互不相同的事件。则有：\(P(\cup_{k=1}^{\infty} A_k) = \sum_{k=1}^{\infty}P(A_k)\)

由此可以推出一系列非常重要的性质(论证过程这里不展开了)：

性质1： \(0 \le P(A) \le 1, \ \ \ \ P(\emptyset)=0\)

性质2：对于任意事件\(A,B\)都有 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)；特别地，当\(A\)与\(B\)互不相容时： \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) ；且可进一步推广：

\(P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)\)

再进一步推广，且设\(A_1,\ A_2,\ …,\ A_n; \ \ (n是正整数)\)互不相容时：

\(P(A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n)\)

性质3：\(P(B-A) = P(B) - P(AB)\)；特别地当\(A \subset B\)时，\(P(B-A)=P(B)-P(A)\) ，且\(P(A) \lt P(B)\)。

性质4：\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)。

例7：已知12件产品中有2件次品，从中任取4件产品，求至少取得1件次品(记作\(A\))的概率。

解：设事件\(B\)表示"未抽到次品"，则\(B = \overline{A}\)；我们很容易算出：

\(P(B) = \frac{C_{10}^4}{C_{12}^4} = \frac{14}{33}\)，故：

\(A\)的概率\(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - P(B) = \frac{19}{33}\)

例8：设\(A、B\)为两个随机事件，\(P(A)=0.5,\ \ P(A \cup B)=0.8,\ \ P(AB)=0.3\)，求\(P(B)\)。

解：\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.5 + P(B) - 0.3 = 0.8\)得\(P(B) = 0.6\)

\(\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar\)

例9：设\(A、B\)为两个随机事件，\(P(A)=0.8,\ \ P(AB)=0.5\)，求\(P(A \overline{B})\)。

解：我们知道\(A = A \cap \Omega = A \cap (B \cup \overline{B}) = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = AB \cup A\overline{B}\)； 因此： # 这里还是挺重要的，写的比较细应该都能看懂。

\(P(A) = P(AB \cup A\overline{B}) = P(AB) + P(A\overline{B}) - P(AB \cap A\overline{B}) = P(AB) + P(A\overline{B})\) # 应该够详细了吧

所以：\(P(A \overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.3\)

\(\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar\)

例10：设\(A与B\)互不相容，\(P(A)=0.5,\ \ P(B)=0.3\)，求\(P(\overline{A} \ \overline{B})\)。

解：\(P(\overline{A} \ \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B)] = 0.2\)

<字数太多，要求分篇！>