ABC279H

\(1 \le n \le 10^{12}\)

ABC279H

对于 \(\min(k, S_k)\) 与 \(S_k\)，构造生成函数 \(f_k(x)\)：

\[\begin{aligned} f_k(x) &= x + 2x^2 + \dots + kx^k + kx^{k + 1} + kx^{k + 2} + \dots \\ &= x \left(\sum\limits_{i = 0}^{k - 1} (i + 1)x^i + k\sum\limits_{i = k}^{+\infty} x^i \right) \\ &= x\left( \left(\dfrac{1 - x^{k + 1}}{1 - x}\right)' + kx^k\dfrac{1}{1 - x} \right) \\ &= x\left(\frac{kx^{k + 1} - (k + 1)x^{k} + 1}{(1 - x)^2} + \dfrac{kx^k}{1 - x}\right) \\ &= \dfrac{x(1 - x^k)}{(1 - x)^2} \end{aligned} \]

remark： \(\sum\limits_{i = 0}^{k - 1} (i + 1)x^i = \left(\sum\limits_{i = 0}^k x^i \right)' = \left( \dfrac{1 - x^{k + 1}}{1 - x} \right)'\)

所以答案就是：$ ans = [x^m]\prod\limits_{i = 1}^n \dfrac{x(1 - x^i)}{(1 - x)^2} = [x^{m - n}] \dfrac{1}{(1 - x)^{2n}} \prod\limits_{i = 1}^n (1 - x^i)$。

由于 \(m \le 2n\)，所以 \(ans = [x^{m - n}] \dfrac{1}{(1 - x)^{2n}} \prod\limits_{i \ge 1} (1 - x^i)\)。

又由五边形数定理，\(ans = [x^{m - n}] \dfrac{1}{(1 - x)^{2n}}\sum\limits_{k \in \Z} (-1)^k x^{k(3k - 1)}\)

暴力枚举 \(k\)，只有 \(O(\sqrt n)\) 项，然后得到 \(\dfrac{1}{(1 - x)^{2n}}\) 的指数，使用 Lucas 定理算组合数即可。

时间复杂度：\(O(p + \sqrt n \log _p n)\)

呃，最开始求封闭形式求错了（搞成前缀和，而不是求导了），变成了一堆复杂的东西。