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vjudge

给定一张 \(n\) 个点、初始为空的图，以及 \(m\) 条边。现在会执行 \(n - 1\) 次操作，每次操作随机挑选一条边，加入到图中。

请回答，对于 \(i = 1 \sim n - 1\)，\(n - 1\) 次操作后图为森林的概率。

注意允许图中重边，此时认为不是森林。

\(n \le 14, m \le 500\)，无自环。

先将概率转化为方案，求有多少种图，然后乘上 \(\frac{(i - 1)!}{m^i}\) 即可。

先考虑简单情况：一棵树。

看到 \(n \le 14\)，不难想到状压 DP，令 \(f(S)\) 表示集合内的点经过 \(|S| - 1\) 次操作后，形成一棵树的方案数。

考虑转移，枚举一条边，把它断开就会形成两个集合 \(U, V\)，不妨枚举 \(U\)，算出有多少条边连接 \(U, V\) 内的点，则可以从 \(f(U)f(V)\) 转移过来。当然这样会算重，每个树会被每条边算两次，所以除掉 \(2(|S| - 1)\)。（其实可以使用矩阵树定理 \(O(n^3)\) 直接求出来）

计算有多少条边连接 \(U, V\) 内的点，可以 \(O(2^nn^2)\) 求出一个集合 \(S\) 内包含了 \(num_S\) 条边，那么就有 \(num_S - num_{U} - num_V\) 条边连接两个集合中的点。

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再考虑森林，设 \(dp(i, S)\) 表示集合 \(S\) 形成森林，且进行了 \(i\) 次操作，则 \(dp(|S| - 1, S) = f(S)\)。转移时可以随便选定一个 \(x \in S\)，枚举 \(x\) 所在的树进行转移：

\[dp(i, S) = \sum\limits_{T \subset S,T \ne \varnothing} dp(T)f(i - |S - T| + 1, T) \]

时间复杂度：\(O(2^nn^2 + n3^n)\)。

从简单情况入手，使用状压 DP 解决树的问题，在用类似方式解决森林即可。