[AHOI2017/HNOI2017] 抛硬币

[AHOI2017/HNOI2017] 抛硬币 - 洛谷P3726

答案就是下面的式子。（\(b \le a \le \min(10^{15}, b + 10^4)\)）

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exlucas

\[\begin{aligned} ans \quad &= \sum\limits_{i = 0}^b\sum\limits_{j = i+ 1}^a \binom{b}{i}\binom{a}{j} \qquad\qquad (1) \\ &= \sum\limits_{i = 0}^b\sum\limits_{j = 0}^{a - i - 1} \binom{b}{i}\binom{a}{j} \qquad\qquad (2) \\ &= \sum\limits_{k = 0}^{a - 1}\sum\limits_{i = 0}^b \binom{b}{i}\binom{a}{k - i} \qquad\quad (3) \\ &= \sum\limits_{k = 0}^{a - 1} \binom{a+b}{k} \qquad\qquad\quad\quad \ \ (4) \end{aligned} \]

\((1)\) 到 \((2)\)：利用 \(\binom{a}{j} = \binom{a}{a - j}\)，\(a - j\) 的范围是 \([0, a - i - 1]\)。相当于把 \(j\) 对称过去。

\((2)\) 到 \((3)\)：观察到 \(i + j \in [0, a - 1]\)，枚举 \(k = i + j\)，使得上下界均与 \(i\) 无关。

\((3)\) 到 \((4)\)：使用范德蒙德卷积。

现在我们已经将这个组合式通过变形 + 范德蒙德消掉了一层，但是 \(a, b \le 10^{15}\)，还是无法直接枚举 \(k\)。

注意到题目还给了一个条件：\(a - b \le 10^4\)。还是利用 \(\binom{a}{j} = \binom{a}{a - j}\) 这个性质（也就是关于 \(\frac{a}{2}\) 对称 ），而 \(a - \frac{a + b}{2} = \frac{a - b}{2} \le 10^4\)。

令 \(m = \lfloor \frac{a + b}{2} \rfloor\)，分 \(a + b\) 的奇偶性进行讨论（根据 \(\sum\limits_{y = 0}^x \binom{x}{y} = 2^x\)）：

• 若 \(a + b\) 为奇数，那么 \(\sum\limits_{i = 0}^{m} \binom{a + b}{i} = 2^{a + b - 1}\)，只需要计算 $\sum\limits_{i = m + 1}^{a - 1} \binom{a + b}{i} \mod 10^k $ 即可。
• 若 \(a + b\) 为偶数，那么 \(\sum\limits_{i = 0}^{m} \binom{a + b}{i} = 2^{a + b - 1} + \dfrac{\binom{a + b}{m}}{2}\)，只需要计算 \(\sum\limits_{i = m + 1}^{a - 1} \binom{a + b}{i} \mod 10^k, \binom{a + b}{m} \mod 2 \times 10^k\) 即可。

注意 \(\binom{a + b}{m}\) 是对 \(2 \times 10^k\) 取模。

所以问题就变成了求 \(\binom{x}{y} \mod 10^k\) 了，因为 \(10^k = 2^k \times 5^k\)，使用扩展 Lucas 定理即可。

本题首先需要通过范德蒙德对组合恒等式进行变形（这个不就不会），然后利用组合数的性质与 \(a - b \le 10^4\) 的条件省去枚举 \(k\) 的巨大复杂度，然后就是板子题了。