洛谷 P3437

矩阵查最大值，矩阵取 \(\max\)

区间修改的线段树套线段树。众所周知，树套树的外层结构是无法 pushdown 的（难道下传一棵线段树），同样也是不可以 pushup 的（难道合并两棵线段树），那如何处理这种区间操作的问题？答案是标记永久化，同时要递归到一个区间时快速算出修改一个子区间后的信息（最大值）。

我们先看看一维的情况。我们维护区间最大值 \(mx\)，以及下传的标记 \(lzy\)。

那么区间对 \(v\) 取 \(\max\) 操作就是对和 \([ql, qr]\) 有交区间执行 mx = max(mx, v)，同时对包含于 \([ql, qr]\) 的区间执行 lzy = max(lzy, v)

而求区间最大值操作相当于对于和 \([ql, qr]\) 有交的区间执行 ans = max(ans, lzy)（因为最后会下传到一个包含于 \([ql, qr]\) 的区间），包含于 \([ql, qr]\) 的区间执行 ans = max(ans, mx) 即可。

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在考虑二维的情况，其实就是对外层结构的 \(mx, lzy\) 两个变量改成两棵动态开点线段树，然后转化为一维问题即可。

时间复杂度：\(O(n \log^2 V)\)

因为树套树有些功能是没有的（pushdown, pushup），所以要首先想到一个只用树套树操作的一维解决方式，然后外面再套一层即可。

这也是它的局限性，所以出的少。（只要不在线，一般可以使用 cdq 分治/整体二分 替代。）