CF1051G

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并查集，线段树合并

对于一个包含 \(k\) 个数对 \((a_i, b_i)\) 的集合 \(S\)，记 \(f(S)\) 表示执行以下操作让所有 \(a_i\) 均不同的最小代价。

• 选择一个 \(i\)，若存在 \(i \ne j, a_i = a_j\)，可以花 \(b_i\) 的代价使 \(a_i + 1\)。
• 选择一个 \(i\)，若存在 \(j, a_i = a_j + 1\)，可以花 \(-b_i\) 的代价使 \(a_i - 1\)。

给定 \(n\) 对 \((a_i, b_i)\)，对于 \(k = 1, 2, \dots , n\)，求出有 \((a_1, b_1) \sim (a_k, b_k)\) 组成的 \(S\) 的 \(f(S)\)。

\(n \le 2 \times 10^5\)

先考虑对连续的一段数，最后会变成什么？假设有 \(c\) 个数，最小的为 \(x\)，那么这 \(c\) 个数最后会变成 \(x, x + 1, x + 2, \dots ,x + c - 1\)（因为没有 \(c - 1\)，所以无法变得比 \(c\) 更小。）

考虑到让 \(a_i \pm 1\) 的代价可以抵消，不妨先让所有数都变成 \(x\)，再把它们变成 \(x, x + 1, \dots\)

• 前面这个部分的代价是 \(-\sum (a_i - x)b_i = \min\{a_i\}\sum b_i - \sum a_i \cdot b_i\)。

• 后面的部分，肯定是贪心的让 \(b_i\) 大的少移动，小的多移动，从而减小代价。也就是如果 \(b_i\) 从大到小的排名为 \(k_i\)，则它的代价是 \(b_i(k_i - 1)\)。

于是我们就计算出了单个 \(S\) 的代价，现在考虑插入。

不难想到，插入一个元素其实就是进行连续段（连通块）进行合并。合并时第一个部分比较好处理，维护 \(\min \{a_i\}, \sum b_i, \sum a_i \cdot b_i\), 即可。后面的部分可以对于 \(b\) 建出值域线段树，维护区间的 \(b\) 的个数以及 \(\sum b\)，然后进行线段树合并即可。

合并时考虑 \(a_i - 1, x + c - 1, x + c\) 这三个位置即可（比较特殊的是 \(x + c - 1\)，即如果之前没有数是 \(x + c - 1\)，以后出现也要算在内，\(a_i - 1, x + c\) 是当前连续段左边、右边相邻的那个）。

计算贡献时，先减掉原来两段的，再加上合并完那一段的即可。

时间复杂度：\(O(n \log V)\)，虽然这个题 \(V = n\)