CF241B

CF241B

给定 \(n\) 个数 \(a_1 \sim a_n\) 和整数 \(m\)，要选出 \(m\) 个不同的数对 \((i, j)(i <j)\)，使得 \(\sum a_i \oplus a_j\) 最大，求出这个最大值

\(n \le 5 \times 10^4, m \le \frac{n(n - 1)}{2}, 0 \le a_i \le 10^9\)

首先肯定是贪心的选最大的 \(m\) 个，但是如何找到一个优秀的选择（排列）方式呢？

发现其实不好搞，这时我们就可以想到（看题解得到）二分这 \(m\) 个中最小的那个。

设二分的 \(val\)，如何 check 呢？可以枚举 \(a_i\)，使用 01 trie 求出有多少个 \(a_j\) 满足 \(a_i \oplus a_j \ge val\)，最后加起来除以二就算出来了有多少对 \((i, j), a_i \oplus a_j \ge val\)。

求出 \(val\) 之后计算出 \(\sum \limits_{a_i \oplus a_j \ge val} a_i \oplus a_j\) 即可。同样枚举 \(a_i\)，预处理出 \(s_{u, x}\) 表示 01 trie 上 \(u\) 的子树的叶子节点中有多少个 \(a_i\) 第 \(x\) 位位 \(1\)。然后在 trie 上跑一遍，遇到 \(val\) 这一位为 \(0\) 的时候累加答案即可。最后还要除以二。

还有，因为 \(\ge val\) 的可能超过 \(m\) 个，还需要减掉多余的部分（这些都是 \(val\)）。

时间复杂度：

• 枚举 \(a_i\)，算出多少个 \(a_i \oplus a_j \ge val\)，是 \(O(n \log V)\)，再套个二分。
• 求和的时候，因为每个每一位都要算答案，是 \(O(n \log^2 V)\)
• 两部分都是 \(O(n \log ^2V)\)，所以总复杂度是 \(O(n \log^2V)\)。

难点在于要想到二分答案（因为直接贪心的选不好做。）