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NOI2014 购票 - 洛谷 P2305

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斜率优化，线段树，分治

先考虑序列上的情况，令 \(f_u\) 表示从 \(u\) 到 \(1\) 的最小代价。

下面的 \(s\) 是题目中 \(s\) 的前缀和，前缀和对于每个 \(u\)，都可以二分找到一个 \(L\)，使得 \(L\) 是最小的 \(s_u - s_{L - 1} \le l_u\)，那么 \(f_u = \min\limits_{v = L}^{u - 1} \{ f_v + (s_u - s_{L - 1})p_u \} + q_u\)，显然是一个斜率优化的形式。因为是从区间转移过来，可以使用分治/线段树套单调栈的做法。还有一点： \(p_u\) 不单调，需要使用二分。

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现在丢到树上，我们可以想办法往序列上靠。这里介绍两种方法。（题解有 \(4\) 种）

\(s\) 变成了 \(u\) 到 \(1\) 的边权之和。

F1

序列上可以分治，在树上自然可以点分治。

特别的一点是，这时一棵有根树。找到点分中心后，就用 \(1\) 所在的那棵子树对剩下的部分进行转移，按照 \(s\) 排序后后，双指针转移即可。

时间复杂度：\(O(n\log^2n)\)。

F2

首先有十分暴力的做法：树链剖分，但这玩意就 \(3\log\) 了，听说也能搞过。但是我们还要寻找一个更加优秀的方式，将树转化为序列。

这里有一个十分神奇的 trick：使用 出栈序。

具体的，我们按照离开 \(u\) 子树的时间对 \(u\) 进行排序，设 \(u\) 的排名为 \(rnk_u\)。DFS 求解 \(f_u\) 时，仍然可以倍增求出那个最浅的 \(L\)（\(L\) 是 \(u\) 的祖先），那么直接从区间 \([rnk_u, rnk_L]\) 转移过来即可。

证明如下： 区间内的点 \(v\) 分为两类

• \(v\) 是 \(u\) 的祖先，那么本来就可以转移到 \(u\)。
• 否则 \(v\) 此时肯定还没有被访问到（\(rnk_v > rnk_u\)），转移过来就是没转移。

于是沿用序列的做法即可。

时间复杂度：\(O(n \log^2 n)\)。

可能你会有疑问：用线段树套单调栈，直接加入，\(d\) 有单调性吗？答案是没有，但是你查询的时候有就行了。或者你可以写李超树。

总结

序列问题还是比较好解决的，就是要想尽办法变成树上问题。这题有一个出栈序的神秘 trick 可以轻松解决这个问题。