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期望线性性，DP

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，以及 \(T\) 次操作，每次操作形如交换 \(a_{x_i}, a_{y_i}\)。每种操作都可以选择执行/不执行。

对于总共的 \(2^T\) 种操作方式，求出最终序列的逆序对对数之和。

\(n \le 3000\)。

我们肯定不能暴力算，考虑有序数对 \((i, j)\) 对答案的贡献，即有多少种操作方式使得 \(a_i > a_j\)。

令 \(f_{i, j}\) 表示当前有多少种操作方式使得 \(a_i > a_j\)，对于一次操作，考虑 \(f\) 如何变化：

• 若 \(i,j \ne x \& i,j \ne y\)，那么这次操作对 \(f_{i, j}\) 没有影响，\(f_{i, j} \times \! = 2\) 即可。
• 否则不妨设 \(i = x\)，那么 \(f_{x, j} = f_{x, j} + f_{y, j}\)，表示操作与否。其他的几种同理。（\(f_{x, y}\) 可能需要特殊处理一下）

于是就有了一个 \(O(n^2q)\) 的做法。

考虑优化。其实这个转移有一个不错的性质，就是第二种只有 \(O(n)\) 种，如果只进行 \(2\) 类转移就很棒。

如何处理第一类操作的 \(\times 2\) 操作，可以对于两种转移都 \(/2\)，那么第一种就相当于不变，第二种相当于 \(f_{x, j} = (f_{x, j} +f_{y, j}) / 2\)，最后乘一个 \(2^T\) 即可。

换个角度，此时的 \(f\) 其实是 \(a_i > a_j\) 的期望，拆贡献也就是期望线性性的表现。所以如果从期望的角度思考这个问题就会简单很多。

时间复杂度：\(O(n^2 + nq)\)。

这个题告诉我们：计数/期望是可以相互转化的。