CF285G & AGC003D

给定 \(n, k\)，问有多少个长度为 \(n\) 的排列 \(p\)，满足恰好有 \(k\) 个 \(i\) 使得 \(|p_i - i| = 1\)（称这个 \(i\) 为好的）。

\(k \le n \le 1000\)

令 \(g(k)\) 表示恰好有 \(k\) 个好的 \(i\) 的排列数。 这玩意是不好求的，但是如果要求 \(f(k)\) 表示选出 \(k\) 个好的位置，剩下的随意（即至少 \(k\) 个）的话就看起来可做一些。不难发现 \(f, g\) 之间的关系：

\[f(k) = \sum\limits_{i}^n \binom{i}{k} g(i) \]

根据二项式反演：

\[f(k) = \sum\limits_{i = k}^n \binom{i}{k} g(i) \iff g(k) = \sum\limits_{i = k}^n (-1)^{i - k} \binom{i}{k} f(i) \]

接下来就是求 \(f\) 了：AT_agc005D

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子问题其实就是有若干条链，选 \(k\) 条边（不能有重复的点）的方案数，最后乘个 \((n - k)!\) 表示剩下的点的匹配方式。跑个 DP 即可。

运用二项式反演，将“恰好”转化为“至少”/“至多”，变成另一个问题进行计算。