洛谷 P5307

给定 \(h \times w\) 的矩阵 \(a\) 以及正整数 \(n\)，问有多少条从 \((1, 1)\) 走到 \((h, w)\) 的路径使得路径上所有数乘积 \(\ge n\)。

\(h, w \le 300, 1 \le a_{i, j}, n \le 10^6\)。

有一个十分明显的 DP：令 \(dp_{i, j, k}\) 表示走到 \((i, j)\) 乘积为 \(k\) 的方案数，暴力转移即可。时间复杂度：\(O(hwn)\)，爆掉了。

尝试改动这个状态，因为 \(i, j\) 都是需要保留的，只能动 \(k\)。可以将状态设为走到 \((i, j)\) 还需要乘 \(k\) 才能到 \(n\)。

然后惊奇的发现：\(k\) 只有 \(2\sqrt n\) 种（整除分块），做完了。

时间复杂度：\(O(hw\sqrt n)\)。（可能需要滚动一下。）

想到一个暴力的 DP 状态，将 \(k\) 从现在的乘积转变为还需要多少，运用 \(n / k\) 只有 \(O(\sqrt n)\) 种结果优化状态。