20251022

正睿 NOIP 二十连测。

B

有 \(n\) 个数 \(a_1 \sim a_n\)，可以进行若干次以下操作，问对于 \(k = 1, 2, 3 \dots n\)，至少需要几次操作才能删去 \(k\) 个数。

• 选择若干相同的数删去。
• 选择若干个互不相同的数删去。

不难发现答案一定是一个递增的序列。令 \(b_i\) 表示 \(i\) 次操作至多能删掉几个数，那么 \(b_{i - 1} + 1\sim b_i\) 这些 \(k\) 的答案就是 \(i\)。

尝试化简两种操作。考虑将 \(n\) 个数丢尽一个桶 \(c\)，\(c_i\) 表示有 \(c_i\) 个数为 \(i\)。不难发现，第一种操作为删去一个 \(c_i\)，第二种操作时将所有 \(> 0\) 的数 \(-1\)，尽可能让 \(c\) 数组之和最小。

因为执行 \(1\) 操作肯定选 \(c_i\) 大的删，所以可以将 \(c\) 从大到小排序

考虑枚举进行了 \(x\) 次操作 \(1\) 和 \(y\) 次操作 \(2\)，首先执行的顺序是无关紧要的（都一样）。预处理一下即可快速得到还剩多少个。

这个看起来是 \(O(n^2)\)，实际不然。因为枚举了 \(x\) 后，\(y\) 只需要枚举到 \(c_{x + 1}\) 即可，所以只需要枚举 \(\sum c_i\) 对 \((x, y)\) 即可。

还有一种方式，因为至多执行 \(\sqrt n\) 次 \(1\) 操作和 \(\sqrt n\) 次而操作就可以删完（否则出现了 \(\sqrt n + 1\) 个大于 \(\sqrt n\) 的 \(c_i\)），只用枚举 \(x, y \le 2\sqrt n\) 即可。时间复杂度也是 \(O(n)\) 的。

本题要想到枚举 \(x, y\) 搞出一个看似 \(O(n^2)\) 的做法，稍加分析即可变为 \(O(n)\)，本人使用的第二种方式。

C

对于一个 \(1 \sim n\) 的排列 \(p\)，构造一个 \(n\) 个点无向图 \(G(p)\)，\(u, v(u < v)\) 之间有连边当且仅当 \(p_u > p_v\)。现在给定 \(p, q\) ，问有多少排列 \(w\) 满足 \(w\) 的字典序在 \(p \sim q\) 之间且 \(G(w)\) 是一个三分图。

\(T\) 组询问，\(T, n \le 300\)。

首先我们要明确 \(G(p)\) 是一个三分图意味着啥？

我们知道判三分图其实是没有多项式复杂度做法的（NP），一定有利用 \(G(p)\) 的一些性质。

先来找一些必要条件，如果 \(p\) 的最长下降子序列长度 \(\ge 4\)，\(G(p)\) 就不是三分图。因为这形成了一个 \(k4\)（大小为 \(4\) 的完全子图）。

实际上这个条件也是充分，写个暴力可以过样例，拿到了 \(25pts\)。具体证明如下：

若最长下降子序列长度 \(\le 3\)，根据 Dilworth 定理可以将 \(p\) 划分成不超过 \(3\) 个上升子序列，每个子序列染一种颜色即可（子序列内部无边）。

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所以题目条件化简为有多少个 \(w\) 满足 \(w\) 的字典序在 \(p \sim q\) 之间且 \(w\) 的最长下降子序列长度不超过 \(3\)？

接下来先不考虑字典序的限制，就只有下降子序列长度不超过 \(3\) 的限制。

回想一下求 LIS 的二分做法，令 \(g_i\) 表示长度为 \(i\) 的上升子序列末尾元素最小值。\(g_i\) 是递增的，每次加入 \(x\) 找到最小的 \(i\) 满足 \(x \le g_i\) 更新即可。

因为下降子序列长度不超过 \(3\)，我们只需要维护这三个数 \(g_1, g_2, g_3\) 即可，实际上只在乎每段还有几个数。可以设计出一个 DP，令 \(f_{i, j, k}\) 表示现在的下降子序列是 \([x, y, z]\)，\([x + 1, n]\) 有 \(i\) 个没有选的数，\([y + 1, x - 1]\) 有 \(j\) 个没有选的数 ，\([z + 1, y - 1]\) 有 \(k\) 个没有选的数时的方案数。（\([1, z - 1]\) 不能有数）。

初始状态是 \(f_{0, 0, 0} = 1\)，转移可以枚举是往哪个部分添加的，是这个部分第几个数，可以从一下几个部分转移而来：

直接做是 \(O(n^4)\) 的，变一下形可以使用前缀和优化（觉得麻烦使用树状数组也能过，我就是的）。时间复杂度优化为 \(O(n^3)\)。

再考虑字典序限制，可以先转化为字典序 \(\le p\) 的合法排列数，枚举和 \(p\) 相同的前缀和第一个不相同位置的取值 \(v\)，算出此时的 \(x, y, z\) 以及每个部分有多少个数就可以直接调用 \(f\) 的取值了（\(f\) 可以预处理出来，每组是一样的。）

时间复杂度：\(O(n^3 + Tn^2)\)。

注意前缀和 \(v\) 时要判断是否合法！！

有一个类似想法的题，也是用利用二分求 LIS 的思路 DP：CF2142D（求 \(a\) 有多少个子序列的下降子序列长度 \(\le 2\)，设 \(dp_{i, j, k}\) 表示前 \(i\) 个数有多少个子序列 \(g_1 = j, g_2 = k\)，利用一些神奇性质转移。）

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总结一下，这个题首先要”猜“出三分图的等价条件，还是经典先想必要条件。

然后利用二分求 LIS 的思想去 DP，设计出状态（得出维护什么）优化一下转移即可。

赛时写了 \(25pts\) 的暴力，然后就没想了。这个思路可以利用在有关于 LIS/LDS 长度的条件的情况。